中文（繁體）
中文（简体）
English
IB 数学 AA SL 模拟试题（Paper 1＋Paper 2 共 14 题）＋完整详解、评分要点及 IA 探究指引
直接答案：IB 数学（Analysis and Approaches，简称 AA）标准级 SL 的公开评核分三部分：Paper 1（1 小时 30 分，80 分，占 40%，不许使用计算机）、Paper 2（1 小时 30 分，80 分，占 40%，须使用 GDC／计算机），以及校内评估 Internal Assessment“数学探究（Mathematical Exploration）”20 分，占 20%。两卷各设 Section A 短答题与 Section B 长答题，全部必答。以下为 TutorZone 原创模拟试题（两卷共 14 题）连完整详解与评分要点，全部答案已逐题核算。
下载与打印（免费，无需登记）
整份模拟卷（题目＋答案＋评分准则）已排版成 A4 PDF，课堂或自修都可以直接打印：下载 PDF 版｜开启打印版（自动弹出打印视窗）
打印视窗会自动开启；选“另存为 PDF”即可存档。
考制速览：IB 数学 AA SL 评核结构
| 评核部分 | 形式 | 时间 | 分数 | 比重 |
|---|---|---|---|---|
| Paper 1 | 不准使用计算机；Section A 短答题（必答）＋ Section B 长答题（必答） | 1 小时 30 分 | 80 分 | 40% |
| Paper 2 | 须使用计算机（GDC）；Section A 短答题（必答）＋ Section B 长答题（必答） | 1 小时 30 分 | 80 分 | 40% |
| 校内评估（IA） | 数学探究（Mathematical Exploration）：一份独立书面探究，由校内教师评分、IB 校外审核 | 课程期间完成 | 20 分 | 20% |
| 合计 | 180 分 | 100% | ||
SL 与 HL 的分别：HL 卷一、卷二各 2 小时、110 分（各占 30%），另有 Paper 3（1 小时、55 分、占 20%），IA 同样 20 分占 20%。SL 没有 Paper 3。
AA 与 AI 的分别：两者共享 60 小时共同内容，但 AA 侧重函数与微积分、代数推理与证明（适合数理、工程、经济等方向），AI 侧重统计、建模与科技应用。
2029 新课程预告（升学规划要知）：IB 已公布新一版数学 AA 课程2027 年 2 月发布、2027 年 8 月首次教授、2029 年 5 月首次评核。新课程下 SL 卷一、卷二分数由 80 分减至 75 分（题目数量减少），HL 卷一、卷二由 110 减至 100 分、卷三由 55 分减至 50 分且时间改为 1 小时；IA 准则亦改以“数学探究过程”为框架。换言之：2027 及 2028 年应考的学生仍用现行结构（本卷依此编写），2027 年 8 月入读的学生才会用到新课程。
本卷设计与版权说明
本模拟卷由 TutorZone 导师团队依据 IB 公开资料（《Mathematics: analysis and approaches》科目简介与课程指引所载的评核大纲）自行编写，并非 IB 官方试题、样本试卷或过往试题。IB 名称、课程文件及试题版权属 International Baccalaureate Organization，本卷不转载任何官方试题或课程文件内容。题目、详解与评分要点均为本卷原创，所有数值答案已逐题核算；分数分配为本卷自订（总分依官方 80 分设计），仅供操练与自我评估之用。
Paper 1 模拟试题（不许使用计算机，80 分）
Section A：短答题（5 题，每题 8 分，共 40 分）——除非另有指示，所有答案须以“准确值”或指定有效数字表达，并展示足够步骤。
1. 等差数列（arithmetic sequence）中，u₃ = 16 且 u₈ = 41。
(a) 求公差 d 与首项 u₁。（3 分）
(b) 求首 20 项之和 S₂₀。（5 分）
2. 求 (2 + 3x)⁶ 展开式中 x⁴ 的系数。（8 分）
3. 解方程 log₂ x + log₂(x − 2) = 3。（8 分）
4. 设复数 z = 2 − 2√3 i。
(a) 求 |z| 与 arg z（以弧度或度数表示）。（4 分）
(b) 由此求 z³。（4 分）
5. 设 f(x) = x² ln x（x > 0）。
(a) 求 f′(x)。（4 分）
(b) 求曲线 y = f(x) 在 x = 1 处的切线方程。（4 分）
Section B：长答题（2 题，每题 20 分，共 40 分）
6. 设 f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1。
(a) 求 f′(x) 并解 f′(x) = 0。（4 分）
(b) 由此判定各驻点（stationary point）的性质，并求其坐标。（6 分）
(c) 求曲线的拐点（point of inflection）坐标。（4 分）
(d) 解 f(x) = 1，并说明图像与直线 y = 1 的交点数目。（6 分）
7. 在三角形 ABC 中，AB = 7 cm、AC = 9 cm，且 ∠A = 60°。
(a) 求 BC 的准确值。（5 分）
(b) 求三角形面积的准确值，并以 3 位有效数字表示。（7 分）
(c) 求 ∠C 与 ∠B（3 位有效数字）。（8 分）
Paper 1 答案与评分要点
1. (a) 3 分：u₈ − u₃ = 5d ⇒ 41 − 16 = 5d ⇒ d = 5（2 分）；u₁ = u₃ − 2d = 16 − 10 = 6（1 分）。
(b) 5 分：S₂₀ = 20/2 [2(6) + 19(5)] = 10(12 + 95) = 1070。（公式 2 分；代入 2 分；答案 1 分）
2. 8 分：一般项 Tk+1 = C(6, k)·26−k·(3x)k（3 分）。设 k = 4：C(6,4) = 15（2 分）；15 × 2² × 3⁴ = 15 × 4 × 81 = 4860（3 分）。
3. 8 分：合并对数：log₂[x(x − 2)] = 3（2 分）⇒ x(x − 2) = 2³ = 8（2 分）⇒ x² − 2x − 8 = 0 ⇒ (x − 4)(x + 2) = 0（2 分）⇒ x = 4 或 x = −2；因 x > 2（真数必须为正），故 x = 4（2 分）。只写 x = 4 而无剔除 x = −2 者扣 1 分。
4. (a) 4 分：|z| = √(2² + (2√3)²) = √(4 + 12) = 4（2 分）；arg z = −π/3（即 −60°），因 z 位于第四象限（2 分）。
(b) 4 分：z = 4 cis(−π/3)（1 分）⇒ z³ = 4³ cis(−π) = −64（3 分）。（直接展开 (2 − 2√3i)³ 亦接受。）
5. (a) 4 分：乘积法则：f′(x) = 2x·ln x + x²·(1/x) = 2x ln x + x。（每项 2 分）
(b) 4 分：f(1) = 1²·ln 1 = 0，故切点为 (1, 0)（2 分）；f′(1) = 2(1)(0) + 1 = 1（1 分）；切线：y − 0 = 1(x − 1)，即 y = x − 1（1 分）。
6. (a) 4 分：f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x² − 4x + 3) = 3(x − 1)(x − 3)（2 分）；f′(x) = 0 ⇒ x = 1 或 x = 3（2 分）。
(b) 6 分：f″(x) = 6x − 12（1 分）；f″(1) = −6 < 0 ⇒ (1, 5) 为极大点（2 分）；f″(3) = 6 > 0 ⇒ (3, 1) 为极小点（2 分）；坐标计算：f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5、f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1（1 分）。
(c) 4 分：f″(x) = 0 ⇒ x = 2（2 分）；f(2) = 8 − 24 + 18 + 1 = 3，故拐点为 (2, 3)（2 分）。
(d) 6 分：x³ − 6x² + 9x + 1 = 1 ⇒ x³ − 6x² + 9x = 0 ⇒ x(x² − 6x + 9) = x(x − 3)² = 0（3 分）⇒ x = 0 或 x = 3（重根）（2 分）。图像与 y = 1 有两个相异交点：(0, 1) 及 (3, 1)（1 分）。答案写“三个交点”者视为概念错误。
7. (a) 5 分：余弦定理：BC² = 7² + 9² − 2(7)(9)cos 60° = 49 + 81 − 126(½) = 67（3 分）⇒ BC = √67 cm（2 分）。
(b) 7 分：面积 = ½(7)(9)sin 60° = ½ × 63 × (√3/2) = (63√3)/4 cm²（4 分）≈ 27.3 cm²（3 有效数字，3 分）。
(c) 8 分：正弦定理：sin C / 7 = sin 60° / √67（2 分）⇒ sin C = 7(√3/2)/√67 ≈ 0.7407（2 分）⇒ ∠C ≈ 47.8°（2 分）；∠B = 180° − 60° − 47.8° ≈ 72.2°（2 分）。用余弦定理直接求 ∠C 亦接受（(9² + 67 − 49)/(2 × 9 × √67)）。
Paper 2 模拟试题（须使用计算机，80 分）
Section A：短答题（5 题，每题 8 分，共 40 分）——结果须以 3 位有效数字表示，并须写出所用分配或函数。
1. 设 X ~ N(52, 8²)。求：
(a) P(X > 60)；（3 分）
(b) P(45 < X < 58)；（3 分）
(c) 使 P(X < a) = 0.9 的 a 值。（2 分）
2. 某生产线有 12% 产品不合规格。随机抽取 20 件。
(a) 求恰有 3 件不合规格的概率。（4 分）
(b) 求至少 1 件不合规格的概率。（4 分）
3. 某细菌群落数量 N(t) = 500e0.35t（t 以小时计）。
(a) 求 t = 6 时的数量。（4 分）
(b) 求数量倍增所需时间。（4 分）
4. 设向量 a = (2, −1, 3)、b = (1, 4, −2)。
(a) 求 a·b 及两向量之间的夹角。（5 分）
(b) 求 a 在 b 上的向量投影。（3 分）
5. 解方程 3 sin x = 2 cos x，其中 0 ≤ x ≤ 2π，答案以弧度表示（3 位有效数字）。（8 分）
Section B：长答题（2 题，每题 20 分，共 40 分）
6. 一个无盖长方体盒，底为边长 x cm 的正方形，容积为 1000 cm³。
(a) 以 x 表示盒高 h。（3 分）
(b) 证明表面积 S = x² + 4000/x。（5 分）
(c) 求使表面积最小的 x 值与 h 值（3 位有效数字）。（8 分）
(d) 证明该值确为最小值，并求最小表面积。（4 分）
7. 一个球从 3 m 高处落下，每次反弹高度为前一次高度的 60%。
(a) 求第 3 次反弹后的高度。（4 分）
(b) 写出第 n 次反弹后高度的表达式。（4 分）
(c) 求球静止前所经过的总垂直距离（准确值）。（12 分）
Paper 2 答案与评分要点
1. (a) 3 分：z = (60 − 52)/8 = 1（1 分）；P(X > 60) = 1 − Φ(1) ≈ 0.159（2 分）。
(b) 3 分：z₁ = (45 − 52)/8 = −0.875、z₂ = (58 − 52)/8 = 0.75（2 分）；P = Φ(0.75) − Φ(−0.875) ≈ 0.583（1 分）。
(c) 2 分：z = 1.2816 ⇒ a = 52 + 1.2816(8) ≈ 62.3。
2. 4+4 分：设 Y ~ B(20, 0.12)。
(a) P(Y = 3) = C(20,3)(0.12)³(0.88)¹⁷ ≈ 0.224。（列式 2 分；答案 2 分）
(b) P(Y ≥ 1) = 1 − P(Y = 0) = 1 − (0.88)²⁰ ≈ 0.922。（方法 2 分；答案 2 分）
3. 4+4 分：(a) N(6) = 500e2.1 ≈ 4083（只）。（代入 2 分；答案 2 分）
(b) 2N(0) = 500e0.35t ⇒ e0.35t = 2 ⇒ t = ln 2 / 0.35 ≈ 1.98 小时。（列式 3 分；答案 1 分）
4. (a) 5 分：a·b = 2(1) + (−1)(4) + 3(−2) = −8（2 分）；|a| = √14、|b| = √21（1 分）；cos θ = −8/√294 ≈ −0.4666 ⇒ θ ≈ 117.8°（2 分）。
(b) 3 分：projba = (a·b / |b|²) b = (−8/21)(1, 4, −2) ≈ (−0.381, −1.524, 0.762)。
5. 8 分：3 sin x = 2 cos x ⇒ tan x = 2/3（3 分）；x = arctan(2/3) ≈ 0.588（3 分）；第二解 x = 0.588 + π ≈ 3.73（2 分）。只写一个解得 3 分以下。
6. (a) 3 分：x²h = 1000 ⇒ h = 1000/x²。
(b) 5 分：S = x² + 4xh = x² + 4x(1000/x²) = x² + 4000/x。（列式 3 分；化简 2 分）
(c) 8 分：dS/dx = 2x − 4000/x²（3 分）；设为 0：2x³ = 4000 ⇒ x³ = 2000 ⇒ x ≈ 12.6 cm（3 分）；h = 1000/x² ≈ 6.30 cm（2 分）。
(d) 4 分：S″ = 2 + 8000/x³（2 分）；在 x ≈ 12.6 时 S″ = 6 > 0，故为极小（1 分）；S ≈ 476 cm²（1 分）。只写“图像开口向上”而无计算者不给第 1 分。
7. (a) 4 分：h₃ = 3(0.6)³ = 0.648 m。（列式 2 分；答案 2 分）
(b) 4 分：hn = 3(0.6)n m。
(c) 12 分：首次下落 3 m（2 分）；其后每次反弹与回落距离各为 3(0.6)n，总计 2 × Σn=1∞ 3(0.6)n（4 分）；等比数列和 = 3(0.6)/(1 − 0.6) = 1.8/0.4 = 4.5（3 分）；故总距离 = 3 + 2(4.5) = 12 m（3 分）。只答 3 + 4.5 = 7.5 m 者，漏算回落段，只给 4 分。
校内评估（IA）20 分：数学探究怎么做
| 准则 | 评核重点 |
|---|---|
| A：Presentation（表达） | 整体结构是否清晰连贯：题目、目标、数学过程与结论的组织，图表与符号使用是否一致。 |
| B：Mathematical communication（数学传意） | 是否准确使用数学语言与符号、定义变数、清楚交代推理步骤，让读者能跟随你的思路。 |
| C：Personal engagement（个人投入） | 题目是否来自你真正感兴趣的问题；有没有你自己的选择、假设与反思。 |
| D：Reflection（反思） | 是否检视结果的合理性、方法的限制、误差的影响，并提出可改进之处。 |
| E：Use of mathematics（数学运用） | 所用的数学是否切合探究目标、程度是否达到课纲要求、是否展现对数学概念的理解（而非只套公式）。 |
五个可行的探究题目示例：① 用指数函数与对数分析某款手机电池的充放电曲线；② 以正态分布检验校内某一项数据（如通勤时间）是否近似常态；③ 用几何与微积分寻找最省材料的包装设计；④ 以等比数列与极限分析篮球运球反弹的高度衰减；⑤ 用统计回归分析气温与用电量的关系。重点是“有真实数据、有数学、有反思”，不是题目听起来高深。
IA 三个致命错误：① 把它写成“资料报告”——大量背景与数据，却没有数学推导；② 题目太阔（例如“数学与艺术”）而无明确研究问题；③ 使用网上现成的探究（抄袭会直接失去资格）。时间线建议：中五下学期定题并收集数据，暑假完成初稿，中六上学期依老师回馈修订。
AA SL 最常见的失分位
- 卷二忘记使用 GDC：卷二本来就容许（并预期）使用图形计算机处理正态分布、二项分布、回归与方程数值解；手算既慢又易错。
- 不看指令动词：“Show that”要展示推导过程、“Hence”必须用上一部分的结果、“Sketch”不要求精确标点但要有关键特征。
- 有效数字与单位：除非题目要求准确值，答案一般取 3 位有效数字；中间步骤过早四舍五入会失分。
- 只写答案不写步骤：AA 卷设“方法分（M marks）”，结论正确但无过程仍会扣分。
- 忽略定义域与真数条件：对数方程、根式方程与函数定义域常设陷阱（如本卷第 3 题须剔除 x = −2）。
- 证明只靠图像：图像可辅助，但“证明”须靠代数或微积分推导。
12 周备考时间表
| 周次 | 卷一（不用计算机） | 卷二（用 GDC） | IA |
|---|---|---|---|
| 1–3 | 代数与函数基本功：求根、指数对数、复数运算 | GDC 操作：求解、绘图、分布计算 | 选题与资料来源确认 |
| 4–6 | 微积分：微分技巧、切线、极值、积分 | 微积分与图像分析（GDC 求导与积分） | 收集数据并完成初稿 50% |
| 7–9 | 三角、向量、数列与二项式 | 概率与统计：正态／二项分布、回归 | 完成全稿，交老师初评 |
| 10–11 | 限时操卷：卷一 90 分钟完成 80 分 | 限时操卷：卷二 90 分钟完成 80 分 | 按回馈修订（重点：反思部分） |
| 12 | 错题重做（只做错过的题型） | GDC 熟练度最后检查 | 格式与引用最后检查 |
常见问题 FAQ
问：AA SL 与 AI SL 该选哪一个？
想读数理、工程、经济、电脑等方向，通常选 AA；想读商科、社会科学、设计或人文，AI 的统计与建模取向更合用。两者 SL 都是 150 小时、评核结构相同（两卷各 40%＋IA 20%）。
问：卷二可以用哪一部计算机？
须使用 IB 认可的图形显示计算机（GDC），型号清单以 IB 官方公布为准；入场前应清空记忆或按规定处理。
问：IA 何时做最好？
中五下学期定题、暑假完成初稿、中六上学期修订。IA 占 20%，比任何一卷的一半还重，切勿留到最后一刻。
问：2027 / 2028 应考会改变吗？
不会。新课程 2027 年 8 月才首次教授、2029 年 5 月首次评核；现行结构（卷一卷二各 80 分、IA 20 分）适用于 2027 及 2028 年应考的学生。
问：卷一完全不能用计算机，怎样练？
平时练习卷一时把手机与计算机完全收起，只准用草稿纸；并熟记常用值（如 √2、√3、sin 60° = √3/2、log 2）与心算技巧。
问：香港有 IB 数学补习吗？
有。TutorZone 可配对熟悉 AA／AI 课程与 IA 指导的导师，亦可针对卷一“无计算机”技巧作专项训练。
官方资源对照表
| 资源 | 用途 |
|---|---|
| IB《Mathematics: analysis and approaches》科目简介（PDF） | 核对 SL／HL 的评核比重、卷别时间与教学时数 |
| IB 官方课程更新页：Mathematics: analysis and approaches | 2027 年 8 月首次教授、2029 年首次评核的新课程改动（SL 卷减至 75 分、IA 准则改版） |
| IB DP 数学课程页 | AA 与 AI 的分别、选科建议与课程概览 |
延伸阅读：IB Mathematical Studies 课程指南、模拟试题练习区。想安排 IB 数学或 IA 指导，可先看 学科的解释，再配对合适导师。
- 同系列——IB Mathematical Studies 课程指南、模拟试题练习区（DSE 各科模拟试题）。
- 科目指南——学科的解释：了解各课程与课纲。
- 交通与安排——跨区交通指南：安排上门或跨区上课前先看通勤时间。
注：以上资讯仅供参考，IB 课程与评核规则一律以 International Baccalaureate Organization 官方公布为准。本卷为原创练习题，并非 IB 官方试题。
立即行动：免费揾 IB 数学导师
学生与家长：AA SL 的三个部分各有䢷门：卷一考不用计算机的正确与速度、卷二考 GDC 的选择与解读、IA 则考状依探究的完整度。填写年级、学校与可上课时间，TutorZone 会免费为你配对熟悉 AA／AI 课程与 IA 指导的导师：
导师：香港国际学校学生对 IB 数学与 IA 指导的需求全年不断，懂得看课纲、能改 IA 初稿的导师尤其缺人。欢迎免费登记，配对成功才收费：
