IB 数学 AI SL 模拟卷（Paper 1）：80 分短答建模题＋逐题答案与诠释

第 1 题

①模型：复利是等比数列，每年乘 1.04（2 分）；②计算：5000 × 1.04³ = $5624.32（4 分）；③诠释：复利是“利上加利”，本金与已生利息一并生息，故三年后比单利（$5600）多（2 分）。指数是 3 不是 2：第一年底已开始复利。

第 2 题

①模型：指数增长 P = 200 000 × 1.025^t（2 分）；②计算：200 000 × 1.025⁵ ≈ 226 282 人（4 分）；③限制：增长率很少能长期不变——迁入迁出、政策或资源限制都会令指数模型偏离现实（2 分）。指数模型的答案要回到情境（人数），不能只写数字。

第 3 题

①平均数：87 ÷ 5 = 17.4（2 分）；②样本标准差：√(Σ(x−μ)²/(n−1)) = √(63.2 ÷ 4) = √15.8 ≈ 3.97（4 分）；③诠释：标准差衡量数据围绕平均数的离散程度，数值愈大代表数据愈分散（2 分）。样本标准差用 GDC 的 sx（除以 n−1），不是 σx（除以 n）。

第 4 题

①方法：用互补事件，P(至少一个红) = 1 − P(两个皆蓝)（2 分）；②计算：1 − 6/10 × 5/9 = 1 − 30/90 = 2/3（4 分）；③诠释：不放回令第二次抽取时分母由 10 变 9（2 分）。不放回的关键是第二次的分母要改。

第 5 题

①斜率：(13 − 5) ÷ (6 − 2) = 2（3 分）；②方程：y − 5 = 2(x − 2)，即 y = 2x + 1（3 分）；③诠释：斜率 2 表示 x 每增加 1，y 增加 2——即两个变量以固定比率一起变化（2 分）。

第 6 题

①模型：直角三角形，tan 40° = h/20（2 分）；②计算：h = 20 × tan 40° ≈ 20 × 0.8391 = 16.8 m（4 分）；③诠释：仰角、水平距离与高度构成三角关系，适合用正切直接求高度（2 分）。GDC 要设成角度制（degree），不是弧度。

第 7 题

①模型：指数衰减 M = 80 × (1/2)^(t/5)（2 分）；②计算：10 = 80 × (1/2)^(t/5) → (1/2)^(t/5) = 1/8 = (1/2)³ → t/5 = 3 → t = 15 年（4 分）；③诠释：由 80 减至 10 是三次“减半”，即三个半衰期（2 分）。

第 8 题

①方法：微分求极值，P′(x) = −2x + 12（3 分）；②计算：P′(x) = 0 → x = 6；P(6) = −36 + 72 − 20 = 16（千元）（4 分）；③诠释：产量 600 件时利润最大，为 $16 000；超过此产量，边际利润转为负值（1 分）。

第 9 题

①模型：等差数列，首项 100、公差 10（2 分）；②第 12 项：T₁₂ = 100 + 11 × 10 = $210（3 分）；③总和：S₁₂ = 12/2 × (100 + 210) = $1860（3 分）。

第 10 题

①方法：两点距离公式 d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)（2 分）；②计算：√((4−1)² + (6−2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5 单位（6 分）。座标差要先平方、后相加，再开方。