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IB 数学：微积分与导数 — 练习第一份（10 题）
IB 数学：微积分与导数 — 练习第一份（10 题）
第一份由多项式求导开始：幂法则、常数项、负指数与根式的写法，再练切线斜率、链式法则、首原理与驻点的极大极小判别，十题附答案与解说。
快速答案 十题约二十五分钟。第 01 至 04 题练幂法则与负指数；第 05 至 07 题练驻点方程、切线斜率与链式法则；第 08、09 题是首原理与二阶导数判别；第 10 题重练漏减一次方的错法。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 题 |
| 建议时间 | 25 分钟 |
| 难度分布 | 基础 4 · 进阶 3 · 挑战 2 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：IB 数学：微积分与导数 备课指引 |
| 适用年级 | IB SL |
02 题目（10 题）
- 基础已知 f(x) = x³，求 f′(x)。
- 基础已知 f(x) = 4x² − 3x + 7，求 f′(x) 及 f′(2)。
- 基础已知 f(x) = 5x⁴，求 f′(2)。
- 基础已知 y = 1/x（x ≠ 0），求 dy/dx。
- 进阶已知 f(x) = x³ − 12x，解 f′(x) = 0。
- 进阶曲线 y = 3x² + 2x 在 x = 1 的切线斜率与切线方程。
- 进阶已知 f(x) = (2x + 1)³，求 f′(x) 及 f′(1)。
- 挑战用导数定义（首原理）证明 f(x) = x² 的导数是 2x，并求 f′(3)。
- 挑战y = x³ − 3x² + 4，求两个驻点并判断极大或极小。
- 错题重练学生把 f(x) = x³ 的导数写成 3x。正确的 f′(x) 及 f′(2) 是什么？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | f′(x) = 3x² | 把指数乘落前面、指数减一：3x²。 |
| 2 | f′(x) = 8x − 3；f′(2) = 13 | 常数项求导为 0，所以 7 消失：8x − 3，代入 2 得 13。 |
| 3 | f′(x) = 20x³；f′(2) = 160 | 先求导得 20x³，再代入 2：20 × 8 = 160。 |
| 4 | dy/dx = −1/x² | 写成 x⁻¹ 再求导：−1 × x⁻²，即 −1/x²。 |
| 5 | x = 2 或 x = −2 | f′(x) = 3x² − 12 = 0 得 x² = 4，所以 x = ±2。 |
| 6 | 斜率 8；切线 y = 8x − 3 | y′ = 6x + 2 在 1 得 8；点 (1, 5)，用点斜式得 y = 8x − 3。 |
| 7 | f′(x) = 6(2x + 1)²；f′(1) = 54 | 链式法则：3(2x + 1)² × 2 = 6(2x + 1)²，代入 1 得 54。 |
| 8 | f′(x) = 2x；f′(3) = 6 | [ (x + h)² − x² ] ÷ h = 2x + h，令 h 趋向 0 得 2x。 |
| 9 | x = 0 为极大（y = 4）；x = 2 为极小（y = 0） | y′ = 3x² − 6x = 3x(x − 2)，二阶导数 y″ = 6x − 6 判别：x = 0 为负（极大）、x = 2 为正（极小）。 |
| 10 | f′(x) = 3x²；f′(2) = 12 | 错在漏减一次方：指数要由 3 减至 2，所以是 3x²，代入 2 得 12 而不是 6。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。
