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IB 数学：微积分与导数 — 练习第二份（10 题）
IB 数学：微积分与导数 — 练习第二份（10 题）
第二份集中求导技巧：积法则、商法则、链式法则与根式改写，再练切线与法线、二阶导数判别驻点与拐点，十题附答案与解说。
快速答案 十题约二十五分钟。第 01 至 04 题练多项式、根式、积法则与切线斜率；第 05 至 07 题练商法则、链式法则与指数函数；第 08、09 题是驻点拐点与法线；第 10 题重练漏乘内层导数的错法。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 题 |
| 建议时间 | 25 分钟 |
| 难度分布 | 基础 4 · 进阶 3 · 挑战 2 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：IB 数学：微积分与导数 备课指引 |
| 适用年级 | IB SL |
02 题目（10 题）
- 基础已知 f(x) = 6x⁵ − 2x³，求 f′(x) 及 f′(1)。
- 基础已知 y = √x（x 大于 0），求 dy/dx 及在 x = 4 的值。
- 基础已知 f(x) = (x² + 1)(x − 3)，用积法则求 f′(x) 及 f′(2)。
- 基础已知 f(x) = 2x³，求在 x = −1 的切线斜率。
- 进阶已知 y = (3x + 2)/(x − 1)（x ≠ 1），用商法则求 dy/dx。
- 进阶已知 y = (2x − 5)⁴，求 dy/dx 及在 x = 3 的值。
- 进阶已知 y = e^(3x)，求 dy/dx 及在 x = 0 的值。
- 挑战y = x³ − 6x² + 9x，求驻点、拐点并判断极大极小。
- 挑战曲线 y = x² − 4x + 1 在 x = 3 的法线方程。
- 错题重练学生求 y = (x² + 1)³ 的导数时写成 3(x² + 1)²。正确的 dy/dx 及在 x = 1 的值是什么？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | f′(x) = 30x⁴ − 6x²；f′(1) = 24 | 逐项求导：30x⁴ − 6x²，代入 1 得 24。 |
| 2 | dy/dx = 1/(2√x)；在 4 得 1/4 | 写成 x^(1/2)：½x^(−1/2) = 1/(2√x)，代入 4 得 1/4。 |
| 3 | f′(x) = 3x² − 6x + 1；f′(2) = 1 | 2x(x − 3) + (x² + 1) = 3x² − 6x + 1，与展开后求导结果相同。 |
| 4 | 斜率 6 | f′(x) = 6x²，代入 −1 得 6；平方令负号消失。 |
| 5 | dy/dx = −5/(x − 1)² | 分子 3(x − 1) − (3x + 2) = −5，所以导数恒为负，函数在两段都递减。 |
| 6 | dy/dx = 8(2x − 5)³；在 3 得 8 | 4(2x − 5)³ × 2 = 8(2x − 5)³；x = 3 时括号内为 1。 |
| 7 | dy/dx = 3e^(3x)；在 0 得 3 | 指数函数求导后乘上指数前面的 3，代入 0 得 3。 |
| 8 | x = 1 为极大（y = 4）、x = 3 为极小（y = 0）、拐点 (2, 2) | y′ = 3(x − 1)(x − 3)，y″ = 6x − 12 判别：1 为负（极大）、3 为正（极小），x = 2 时 y″ = 0。 |
| 9 | 法线 y = −x/2 − 1/2 | 切线斜率 2x − 4 = 2，法线斜率为 −1/2；点 (3, −2) 代入得 y = −x/2 − 1/2。 |
| 10 | dy/dx = 6x(x² + 1)²；在 1 得 24 | 错在漏乘内层导数 2x：3(x² + 1)² × 2x = 6x(x² + 1)²，代入 1 得 24。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。
