中文（繁體）
中文（简体）
English
IB 数学：微积分与导数 — 练习第三份（10 题）
IB 数学：微积分与导数 — 练习第三份（10 题）
第三份是导数的应用：速率与加速度、闭区间的最大最小值、圆柱表面积与围栏的优化，以及切线平行条件，十题附答案与解说。
快速答案 十题约二十五分钟。第 01 至 04 题练求驻点、切线值以及位移求速度与加速度；第 05 至 07 题练闭区间最值、圆柱优化与平行切线；第 08、09 题是围栏优化与平行条件；第 10 题重练只用一阶导数判极值的错法。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 题 |
| 建议时间 | 25 分钟 |
| 难度分布 | 基础 4 · 进阶 3 · 挑战 2 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：IB 数学：微积分与导数 备课指引 |
| 适用年级 | IB SL |
02 题目（10 题）
- 基础已知 f(x) = x⁴ − 32x，解 f′(x) = 0 并求该点的函数值。
- 基础已知 y = 5 − 2x + x²，求在 x = 3 的导数值与函数值。
- 基础位移 s(t) = t³ − 3t² + 2t（米），求 t = 2 秒时的速度。
- 基础位移 s(t) = t³ − 6t² + 9t（米），求 t = 2 秒时的加速度。
- 进阶求 f(x) = x³ − 3x² + 1 在闭区间 [0, 3] 的最大值与最小值。
- 进阶密闭圆柱体积固定为 250π cm³，求表面积最小时的半径与高。
- 进阶求曲线 y = x³ − 3x 上切线斜率为 9 的所有点。
- 挑战矩形农场一边靠墙，其余三边用 40 m 围栏，求最大面积及对应长阔。
- 挑战求曲线 y = x² 上哪一点的切线与直线 y = 4x − 7 平行。
- 错题重练学生求 f(x) = x³ − 3x 的极值，只解 f′(x) = 0 便答两个都是极小。正确答案是什么？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | x = 2；f(2) = −48 | f′(x) = 4x³ − 32 = 0 得 x³ = 8，所以 x = 2，代入得 16 − 64 = −48。 |
| 2 | dy/dx = 4；y(3) = 8 | y′ = −2 + 2x 代入 3 得 4；函数值 5 − 6 + 9 = 8。 |
| 3 | v(2) = 2 m/s | 速度是位移的导数：v = 3t² − 6t + 2，代入 2 得 12 − 12 + 2 = 2。 |
| 4 | a(2) = 0 m/s² | v = 3t² − 12t + 9，a = v′ = 6t − 12，代入 2 得 0，该刻速度最小但仍在转向。 |
| 5 | 最大值 1；最小值 −3 | 驻点 x = 0 与 x = 2 及端点 x = 3 一齐比较：1、−3、1，所以最大 1、最小 −3。 |
| 6 | r = 5 cm；h = 10 cm | h = 250/r²，S = 2πr² + 500π/r；S′ = 4πr − 500π/r² = 0 得 r³ = 125，r = 5、h = 10。 |
| 7 | (2, 2) 与 (−2, −2) | 3x² − 3 = 9 得 x² = 4，x = ±2；代入曲线得 y = 2 与 y = −2。 |
| 8 | 最大面积 200 m²；靠墙边 20 m、另一边 10 m | 设靠墙边为 x：x + 2y = 40，A = x(40 − x)/2；A′ = 20 − x = 0 得 x = 20、y = 10。 |
| 9 | (2, 4) | 平行即斜率相同：2x = 4 得 x = 2，代入曲线得 y = 4。 |
| 10 | x = −1 为极大（f = 2）；x = 1 为极小（f = −2） | 要用二阶导数 f″ = 6x 判别：x = −1 时为负（极大）、x = 1 时为正（极小）。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。
