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IB 数学：微积分与导数 — 练习第四份（10 题）
IB 数学：微积分与导数 — 练习第四份（10 题）
第四份是整章的综合复习：幂法则、常数与多项式求导、驻点、二阶导数、切线斜率、极值与围栏优化，以及位移求速度与加速度，十题附答案与解说。
快速答案 十题约二十五分钟。第 01 至 04 题练基本求导与常数；第 05 至 07 题练驻点、二阶导数与切线斜率；第 08、09 题是极值与围栏优化；第 10 题重练只答速度漏加速度的错法。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 题 |
| 建议时间 | 25 分钟 |
| 难度分布 | 基础 4 · 进阶 3 · 挑战 2 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：IB 数学：微积分与导数 备课指引 |
| 适用年级 | IB SL |
02 题目（10 题）
- 基础已知 f(x) = x⁵，求 f′(x)。
- 基础已知 f(x) = 7x³ − 2x，求 f′(x)。
- 基础已知 f(x) = x² + 3x + 1，求 f′(1)。
- 基础已知 f(x) = 6，求 f′(x)。
- 进阶求 f(x) = x³ − 27x 的驻点。
- 进阶f(x) = x⁴ − 8x²，求二阶导数 f″(x)。
- 进阶曲线 y = x² + 2x 在 x = 1 的切线斜率是多少？
- 挑战f(x) = x³ − 6x² + 9x，求极大值与极小值。
- 挑战用 60 m 围栏靠墙围一个矩形，只需围三边，求最大面积。
- 错题重练s(t) = t³ − 3t（米），学生在 t = 2 只答了速度。速度与加速度各是多少？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | f′(x) = 5x⁴ | 指数 5 乘落前面，指数减一得 4。 |
| 2 | f′(x) = 21x² − 2 | 逐项求导：7x³ 得 21x²，−2x 得 −2。 |
| 3 | f′(1) = 5 | f′(x) = 2x + 3，代 x = 1 得 5。 |
| 4 | f′(x) = 0 | 常数的图像水平，所以导数为零。 |
| 5 | x = 3 与 x = −3 | f′(x) = 3x² − 27 = 0，得 x² = 9，所以 x = ±3。 |
| 6 | f″(x) = 12x² − 16 | 先求 f′(x) = 4x³ − 16x，再求导得 12x² − 16。 |
| 7 | 斜率 4 | dy/dx = 2x + 2，代 x = 1 得 4。 |
| 8 | 极大值 4（x = 1）、极小值 0（x = 3） | f′(x) = 3(x − 1)(x − 3)，代入两点得 4 与 0。 |
| 9 | 最大面积 450 m²（15 m × 30 m） | 设垂直墙的边为 x：A = x(60 − 2x)，A′ = 60 − 4x = 0 得 x = 15。 |
| 10 | 速度 9 m/s、加速度 12 m/s² | v = 3t² − 3 = 9，a = 6t = 12；错在只求一阶导数。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。
