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DSE 數學練習卷：概率與統計
練習卷 · DSE 數學 概率與統計全卷
本卷 12 題、100 分、75 分鐘，涵蓋組合與排列、二項與泊松分佈、正態分佈、條件概率與貝氏定理、數據描述與標準差、迴歸與相關係數、期望值、置信區間與分層抽樣；所有數值由程式計算並逐項驗證，適合中六文憑試數學（必修部分）考生作全卷計時練習。
卷面資料 年級：中六（S6） ｜ 科目：數學 ｜ 時限：75 分鐘 ｜ 總分：100 分 ｜ 題數：12
甲部（Q1–Q4）：組合、二項與正態分佈（32 分）
每題 8 分，須列出計算步驟。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | 袋中有紅球 6 個、藍球 4 個、綠球 5 個，共 15 個。隨機抽出 3 個球（不放回）。 (a) 求抽出 3 球的所有組合數。（2 分） (b) 求 3 球同色的概率。（3 分） (c) 求 3 球中恰有 2 個紅球的概率。（3 分） |
(a) 組合數 = C(15,3) = 455。[2 分] (b) 同色組合 = C(6,3) + C(4,3) + C(5,3) = 20 + 4 + 10 = 34；概率 = 34 ÷ 455 = 0.0747。[3 分] (c) 恰 2 紅 = C(6,2) × C(9,1) = 15 × 9 = 135；概率 = 135 ÷ 455 = 0.2967。[3 分] |
| 2 | 某遊戲每次成功的概率為 0.3，獨立重複玩 10 次，設 X 為成功次數。 (a) 求 P(X = 3)。（3 分） (b) 求 X 的平均值及標準差（4 位小數）。（2 分） (c) 求至少成功 1 次的概率。（3 分） |
(a) P(X = 3) = C(10,3)(0.3)³(0.7)⁷ = 120 × 0.027 × 0.0824 = 0.2668。[3 分] (b) 平均 = np = 3；方差 = np(1 − p) = 2.1；標準差 = 1.4491。[2 分] (c) P(X ≥ 1) = 1 − 0.7¹⁰ = 1 − 0.0282 = 0.9718。[3 分] |
| 3 | 某科測驗成績呈正態分佈，平均 52 分，標準差 8 分。 (a) 求成績高於 60 分的概率。（3 分） (b) 求成績介乎 44 分與 60 分之間的概率。（2 分） (c) 若只有最高 10% 學生獲甲級，求甲級的最低分數（取 1 位小數）。（3 分） |
(a) z = (60 − 52) ÷ 8 = 1；P(Z > 1) = 0.1587。[3 分] (b) P(44 < X < 60) = P(−1 < Z < 1) = 0.6827。[2 分] (c) 單尾 10% 的 z = 1.2816；最低分 = 52 + 1.2816 × 8 = 62.3。[3 分] |
| 4 | 工廠 A 生產全部貨品的 60%，工廠 B 生產其餘 40%。A 的不良率為 2%，B 的不良率為 5%。 (a) 求隨機抽一件貨品為不良品的概率。（3 分） (b) 已知抽到不良品，求它來自工廠 A 的概率。（3 分） (c) 獨立抽 3 件，求至少 1 件不良的概率。（2 分） |
(a) P(不良) = 0.6 × 0.02 + 0.4 × 0.05 = 0.012 + 0.020 = 0.032。[3 分] (b) P(A | 不良) = 0.012 ÷ 0.032 = 0.375。[3 分] (c) 1 − 0.968³ = 1 − 0.9070 = 0.0929。[2 分] |
乙部（Q5–Q8）：數據描述、迴歸與獨立性（36 分）
每題 9 分，須列式並加以說明。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 5 | 某班 8 名學生的測驗分數為：[12, 15, 15, 18, 20, 22, 25, 33]。 (a) 求平均數、中位數及眾數。（3 分） (b) 求標準差（總體，取 3 位小數）。（3 分） (c) 若新增一名得 60 分的學生，求新的平均數及中位數。（3 分） |
(a) 平均 = 160 ÷ 8 = 20；中位數 = (18 + 20) ÷ 2 = 19；眾數 = 15。[3 分] (b) 平方離差和 = 316；方差 = 316 ÷ 8 = 39.5；標準差 = 6.285。[3 分] (c) 新平均 = 220 ÷ 9 = 24.44；新中位數 = 20（排序後第 5 個數）。[3 分] |
| 6 | 某 5 間分店的廣告支出 x（千元）與營業額 y（萬元）如下：x = [1, 2, 3, 4, 5]，y = [2, 4, 5, 8, 11]。 (a) 求 y 對 x 的迴歸直線方程（斜率及截距取 1 位小數）。（4 分） (b) 估計廣告支出 7 千元時的營業額。（2 分） (c) 求相關係數 r，並評論以 x = 7 作預測是否可靠。（3 分） |
(a) x̄ = 3、ȳ = 6；Sxy = 22、Sxx = 10；斜率 = 22 ÷ 10 = 2.2，截距 = 6 − 2.2 × 3 = −0.6；方程 y = −0.6 + 2.2x。[4 分] (b) x = 7 時 y = −0.6 + 2.2 × 7 = 14.8。[2 分] (c) r = 22 ÷ √(10 × 50) = 0.984，屬極強正相關；但 x = 7 超出數據範圍（1 至 5），屬外推，未必可靠。[3 分] |
| 7 | 從 6 名男生及 5 名女生中選出 4 人組成委員會。 (a) 求所有可能的組合數。（2 分） (b) 求恰有 2 名女生的概率（4 位小數）。（3 分） (c) 求至少 1 名女生的概率（4 位小數）。（2 分） (d) 若委員會須由 1 名女生任主席，其餘 3 人無性別限制，求組合數。（2 分） |
(a) C(11,4) = 330。[2 分] (b) C(5,2) × C(6,2) = 10 × 15 = 150；概率 = 150 ÷ 330 = 0.4545。[3 分] (c) 全男組合 C(6,4) = 15；P(至少 1 女) = 1 − 15 ÷ 330 = 0.9545。[2 分] (d) 女生任主席有 5 種選法，其餘 3 人從餘下 10 人選出：5 × C(10,3) = 5 × 120 = 600。[2 分] |
| 8 | 某校 200 名學生中，120 人修數學，90 人修物理，60 人兩科皆修。隨機選 1 人。 (a) 求該生修數學或物理的概率。（2 分） (b) 已知該生修數學，求他修物理的概率。（3 分） (c) 判斷「修數學」與「修物理」是否獨立，須以計算說明。（2 分） (d) 求只修其中一科的人數。（2 分） |
(a) (120 + 90 − 60) ÷ 200 = 0.75。[2 分] (b) 60 ÷ 120 = 0.5。[3 分] (c) P(數) × P(物) = 0.6 × 0.45 = 0.27，而 P(兩科) = 0.3；0.27 ≠ 0.3，故兩者不獨立。[2 分] (d) (120 − 60) + (90 − 60) = 60 + 30 = 90 人。[2 分] |
丙部（Q9–Q12）：泊松、期望值與抽樣（32 分）
每題 8 分，答案須取適當小數位。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 9 | 某服務站每小時平均接到 2.5 個電話，每小時電話數符合泊松分佈。 (a) 求一小時內沒有電話的概率（4 位小數）。（2 分） (b) 求一小時內至少 3 個電話的概率（4 位小數）。（3 分） (c) 寫出每小時電話數的平均值、方差及標準差（4 位小數）。（3 分） |
(a) P(X = 0) = e⁻²·⁵ = 0.0821。[2 分] (b) P(X ≤ 2) = 0.0821 + 0.2052 + 0.2565 = 0.5438；P(X ≥ 3) = 1 − 0.5438 = 0.4562。[3 分] (c) 泊松分佈平均 = 方差 = 2.5；標準差 = √2.5 = 1.5811。[3 分] |
| 10 | 某抽獎每次收費 $6，獎金 X 的分佈為：P(X = 0) = 0.7、P(X = 10) = 0.25、P(X = 50) = 0.05。 (a) 求 E(X)。（3 分） (b) 求每局的期望淨收益，並判斷長期是否值得玩。（3 分） (c) 求公平收費應為多少。（2 分） |
(a) E(X) = 0 × 0.7 + 10 × 0.25 + 50 × 0.05 = 0 + 2.5 + 2.5 = 5。[3 分] (b) 期望淨收益 = 5 − 6 = −1，即每局平均蝕 $1，長期不值得玩。[3 分] (c) 公平收費 = E(X) = $5。[2 分] |
| 11 | 從某區隨機抽取 100 名學生，平均每日溫習 68 分鐘，標準差 12 分鐘。 (a) 求平均數的標準誤。（2 分） (b) 求平均溫習時間的 95% 置信區間（取 2 位小數，z = 1.96）。（3 分） (c) 若樣本增至 400 人，標準誤及區間寬度如何改變？寫出新的標準誤。（3 分） |
(a) 標準誤 = 12 ÷ √100 = 1.2。[2 分] (b) 68 ± 1.96 × 1.2 = 68 ± 2.352，即 (65.65, 70.35)。[3 分] (c) n = 400 時標準誤 = 12 ÷ 20 = 0.6；區間寬度由 4.70 收窄至 2.35，估計更精確。[3 分] |
| 12 | 某校各級人數：中一 300、中二 300、中三 250、中四 200、中五 100、中六 50，共 1200 人。現以分層抽樣抽出 120 人。 (a) 求抽樣比例。（3 分） (b) 求各級應抽人數。（3 分） (c) 說明分層抽樣較簡單隨機抽樣優勝之處。（2 分） |
(a) 抽樣比例 = 120 ÷ 1200 = 0.1，即 10%。[3 分] (b) 中一 30、中二 30、中三 25、中四 20、中五 10、中六 5，合共 120 人。[3 分] (c) 分層抽樣保證各級均有代表，減少抽樣誤差，比簡單隨機抽樣更能反映母體結構。[2 分] |
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