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DSE 數學（必修部分）練習卷：二次方程、函數與圖像（12 題・100 分・75 分鐘）
練習卷 · DSE 數學必修 二次方程與函數圖像全卷
本卷涵蓋二次方程的解法、判別式與根的性質、配方法與頂點、根與係數的關係、函數圖像變換、二次不等式、圖像截距、應用最值題與聯立方程，共 12 題，分甲、乙、丙三部，總分 100 分，時限 75 分鐘，每題均須列出步驟與單位，並附完整答案與評分要點，適合中六學生備戰文憑試。
卷面資料 年級：中六（S6） ｜ 科目：數學 ｜ 時限：75 分鐘 ｜ 總分：100 分 ｜ 題數：12
甲部（32 分）
解方程、判別式、配方法與根與係數的關係，須列出步驟及化簡過程。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | 解下列各二次方程。 (a) x² − 5x + 6 = 0 (b) 2x² + 3x − 2 = 0 (c) x² + 4x + 1 = 0（答案以根式表示） |
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0，故 x = 2 或 x = 3。 (b) 判別式 = 判別式 = 3² − 4(2)(−2) = 9 + 16 = 25；x = (−3 ± 5)/4，故 x = 1/2 或 x = −2。 (c) 判別式 = 4² − 4(1)(1) = 12；x = (−4 ± √12)/2 = −2 ± √3。 |
| 2 | 設 k 為常數。 (a) 若 x² + kx + 9 = 0 有兩個相等實根，求 k 的兩個可能值。 (b) 判斷 2x² − 4x + 5 = 0 的根的性質，並說明理由。 |
(a) 有相等實根須判別式 = 0：k² − 4(1)(9) = 0，即 k² = 36，故 k = 6 或 k = −6。 (b) 判別式 = (−4)² − 4(2)(5) = 16 − 40 = −24，小於 0，故方程沒有實根，兩根為一對共軛複數。 |
| 3 | 已知 y = x² − 6x + 5。 (a) 以配方法把 y 寫成 (x − h)² + k 的形式。 (b) 寫出圖像的頂點及對稱軸。 (c) 求 y 的最小值及其對應的 x 值。 |
(a) y = x² − 6x + 5 = (x² − 6x + 9) − 9 + 5 = (x − 3)² − 4。 (b) 頂點為 (3, −4)，對稱軸為直線 x = 3。 (c) 因 (x − 3)² ≥ 0，故 y ≥ −4；最小值為 −4，於 x = 3 時取得。 |
| 4 | 設 α 及 β 為方程 3x² − 5x − 2 = 0 的兩個根。 (a) 求 α + β 及 αβ。 (b) 求 α² + β² 的值。 (c) 求以 α + 1 及 β + 1 為根的二次方程，並以整係數表示。 |
(a) α + β = 5/3，αβ = −2/3。 (b) α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 25/9 + 4/3 = 37/9。 (c) 新根之和 = 5/3 + 2 = 11/3，新根之積 = αβ + (α + β) + 1 = −2/3 + 5/3 + 1 = 2；故所求方程為 x² − (11/3)x + 2 = 0，即 3x² − 11x + 6 = 0。 |
乙部（36 分）
函數圖像、二次不等式、圖像特徵與應用題，須清楚說明理由。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 5 | 已知 f(x) = 2x² − 8x + 3。 (a) 把 f(x) 寫成 a(x − h)² + k 的形式。 (b) 描述 y = f(x) 的圖像如何由 y = 2x² 的圖像經平移得出。 (c) 解方程 f(x) = 3。 |
(a) f(x) = 2(x² − 4x) + 3 = 2[(x − 2)² − 4] + 3 = 2(x − 2)² − 5。 (b) 把 y = 2x² 的圖像向右平移 2 單位、向下平移 5 單位，即得 y = f(x) 的圖像；頂點由 (0, 0) 移至 (2, −5)。 (c) 2(x − 2)² − 5 = 3，即 (x − 2)² = 4，故 x − 2 = ±2，即 x = 4 或 x = 0。 |
| 6 | 解下列二次不等式。 (a) x² − x − 6 ≤ 0 (b) 2x² + 5x − 3 > 0 |
(a) (x − 3)(x + 2) ≤ 0，臨界值為 −2 及 3，故解為 −2 ≤ x ≤ 3。 (b) 2x² + 5x − 3 = (2x − 1)(x + 3) > 0，臨界值為 −3 及 1/2，故解為 x 小於 −3 或 x 大於 1/2。 |
| 7 | 已知曲線 y = x² − 4x + 3。 (a) 求圖像與 x 軸及 y 軸的交點。 (b) 求圖像的頂點。 (c) 判斷圖像的開口方向，並寫出 y 的最小值。 |
(a) 令 y = 0：(x − 1)(x − 3) = 0，x 軸交點為 (1, 0) 及 (3, 0)；令 x = 0，得 y 軸交點 (0, 3)。 (b) y = (x − 2)² − 1，故頂點為 (2, −1)。 (c) x² 的係數為正（1 > 0），圖像開口向上；最小值為 −1，於 x = 2 時取得。 |
| 8 | 一個長方形花園的周界為 40 m，面積為 96 m²。 (a) 設花園的闊為 x m，以 x 表示它的長。 (b) 建立一個關於 x 的二次方程。 (c) 求花園的長和闊。 |
(a) 長 + 闊 = 40 ÷ 2 = 20，故長為 (20 − x) m。 (b) 面積 = x(20 − x) = 96，即 x² − 20x + 96 = 0。 (c) (x − 8)(x − 12) = 0，故 x = 8 或 x = 12；花園的尺寸為 12 m × 8 m（核對：周界 = 40 m，面積 = 96 m²）。 |
丙部（32 分）
聯立方程、等根條件、最值應用與由根與係數反求參數，須寫出完整過程。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 9 | 解聯立方程：y = x + 1 及 y = x² − 1。 | 由兩式得 x² − 1 = x + 1，即 x² − x − 2 = 0，亦即 (x − 2)(x + 1) = 0，故 x = 2 或 x = −1。 當 x = 2，y = 3；當 x = −1，y = 0。 解為 (2, 3) 及 (−1, 0)。 |
| 10 | 已知方程 x² + (k − 2)x + 9 = 0 有兩個相等實根，其中 k 為常數。 (a) 建立一個關於 k 的方程。 (b) 求 k 的所有可能值。 (c) 就每個 k 值寫出對應方程及其重根。 |
(a) 判別式 = (k − 2)² − 4(1)(9) = 0，即 (k − 2)² = 36。 (b) k − 2 = ±6，故 k = 8 或 k = −4。 (c) 當 k = 8，方程為 x² + 6x + 9 = 0，即 (x + 3)² = 0，重根為 x = −3；當 k = −4，方程為 x² − 6x + 9 = 0，即 (x − 3)² = 0，重根為 x = 3。 |
| 11 | 某店售賣一款產品：當售價為 $p 時，每月可售出 (120 − 2p) 件。 (a) 以 p 表示每月的收入 R。 (b) 以配方法求 R 的最大值。 (c) 求使收入達到最大的售價，並求此時售出的件數。 |
(a) R = p(120 − 2p) = −2p² + 120p。 (b) R = −2(p² − 60p) = −2[(p − 30)² − 900] = −2(p − 30)² + 1800；因 (p − 30)² ≥ 0，故 R ≤ 1800，即最大收入為 $1,800。 (c) 最大值於 p = 30 時取得，故售價為 $30；此時售出 120 − 60 = 60 件，收入 30 × 60 = $1,800。 |
| 12 | 設 α 及 β 為方程 x² − 7x + k = 0 的兩個根，其中 k 為常數。已知 α² + β² = 25。 (a) 以 k 表示 α² + β²。 (b) 求 k。 (c) 由此求 α 及 β。 |
(a) α + β = 7，αβ = k，故 α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 49 − 2k。 (b) 49 − 2k = 25，即 2k = 24，故 k = 12。 (c) 方程為 x² − 7x + 12 = 0，即 (x − 3)(x − 4) = 0，故 α 及 β 為 3 及 4（核對：3 + 4 = 7，3² + 4² = 25）。 |
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