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DSE 數學（必修部分）練習卷：三角學與坐標幾何（12 題・50 分・75 分鐘）
練習卷 · DSE 數學三角學與坐標幾何全卷
DSE 數學（必修部分）練習卷：12 題原創題目、50 分、75 分鐘，涵蓋三角比、正弦與餘弦定理、三角方程、仰角與俯角、兩點距離與中點、直線方程、點到直線距離及圓的方程，每題附完整步驟與評分要點。 適合中六應試。 適合中六應試。
卷面資料 年級：中六（S6） ｜ 科目：數學 ｜ 時限：75 分鐘 ｜ 總分：50 分 ｜ 題數：12
甲部（Q1–Q6）：三角學
回答下列各題，須列出計算步驟。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | 在直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，AB = 17 cm，BC = 8 cm。(a) 求 AC 的長度。(b) 以分數表示 sin A、cos A 及 tan A。 | (a) AC² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225，故 AC = 15 cm。（2 分）(b) sin A = BC ÷ AB = 8/17，cos A = AC ÷ AB = 15/17，tan A = BC ÷ AC = 8/15。（2 分） |
| 2 | 不使用計算機，求 (sin 30° cos 60° + tan 45°) ÷ sin² 45° 的值。 | sin 30° = cos 60° = 1/2，tan 45° = 1，sin² 45° = 1/2。（2 分）分子 = 1/4 + 1 = 5/4，故原式 = (5/4) ÷ (1/2) = 5/2。（2 分） |
| 3 | 三角形的三邊長為 7 cm、8 cm 及 9 cm。求最大角的大小，準確至 0.1°。 | 最大角對最長邊 9 cm。由餘弦定理，cos C = (7² + 8² − 9²) ÷ (2 × 7 × 8) = 32 ÷ 112 = 2/7。（2 分）C = 73.4°，準確至 0.1°。（2 分） |
| 4 | 三角形其中兩邊長 6 cm 及 10 cm，夾角為 30°。(a) 求該三角形的面積。(b) 求第三邊的長度，準確至 3 位有效數字。 | (a) 面積 = (1/2) × 6 × 10 × sin 30° = 15 cm²。（2 分）(b) 第三邊² = 6² + 10² − 2 × 6 × 10 × cos 30° = 136 − 60√3 ≈ 32.08，故第三邊 ≈ 5.66 cm。（2 分） |
| 5 | 解方程 2 sin² x + sin x − 1 = 0，其中 0° ≤ x ≤ 360°。 | 設 u = sin x，得 2u² + u − 1 = 0，即 (2u − 1)(u + 1) = 0，u = 1/2 或 u = −1。（2 分）sin x = 1/2 得 x = 30° 或 150°；sin x = −1 得 x = 270°。解為 30°、150° 及 270°。（2 分） |
| 6 | 在水平地面上，由 A 點測得塔頂的仰角為 30°。由 A 向塔走 40 m 到達 B 點，測得仰角為 60°。求塔高，準確至 0.1 m。 | 設塔高 h m，塔腳為 T。AT = h ÷ tan 30° = h√3，BT = h ÷ tan 60° = h ÷ √3。（2 分）AT − BT = 40，即 h(√3 − 1/√3) = 40，得 h = 20√3 ≈ 34.6 m。（2 分） |
乙部（Q7–Q9）：坐標幾何
回答下列各題，須以坐標幾何方法作答。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 7 | 已知 A(−2, 3) 及 B(4, −5)。(a) 求 AB 的長度。(b) 求 AB 中點的坐標。(c) 求直線 AB 的斜率。 | (a) AB = √[(4 + 2)² + (−5 − 3)²] = √(36 + 64) = 10。（2 分）(b) 中點 = ((−2 + 4) ÷ 2, (3 − 5) ÷ 2) = (1, −1)，斜率 = (−5 − 3) ÷ (4 + 2) = −4/3。（2 分） |
| 8 | 直線 L 的方程為 3x + 4y − 12 = 0。(a) 求 L 的 x 截距及 y 截距。(b) 求點 (2, 1) 與 L 的距離。 | (a) 令 y = 0 得 x = 4；令 x = 0 得 y = 3，故 x 截距為 4，y 截距為 3。（2 分）(b) 距離 = |3(2) + 4(1) − 12| ÷ √(3² + 4²) = 2 ÷ 5 = 0.4。（2 分） |
| 9 | 圓 C 的方程為 x² + y² − 6x + 8y − 11 = 0。(a) 求圓心及半徑。(b) 判斷點 (3, 2) 在圓內、圓上還是圓外。 | (a) x² − 6x + y² + 8y = 11，配方得 (x − 3)² + (y + 4)² = 11 + 9 + 16 = 36，圓心 (3, −4)，半徑 6。（2 分）(b) 點 (3, 2) 與圓心的距離 = √(0² + 6²) = 6，等於半徑，故點在圓上。（2 分） |
丙部（Q10–Q12）：綜合應用
回答下列各題，須解釋推論並列出步驟。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 10 | 直線 3x + 4y = 25 與圓 x² + y² = 25 有多少個交點？若只有一個交點，求該點的坐標。 | 圓心 (0, 0) 到直線 3x + 4y − 25 = 0 的距離 = 25 ÷ √(9 + 16) = 25 ÷ 5 = 5，等於半徑，故直線與圓相切，只有一個交點。（3 分）切點為 (3, 4)：3(3) + 4(4) = 25 且 3² + 4² = 25，兩式均成立。（2 分） |
| 11 | (a) 證明 (1 − cos²θ) ÷ (sin θ cos θ) = tan θ。(b) 已知 tan θ = 3/4 且 θ 為銳角，求 sin θ 及 cos θ。 | (a) 左邊 = (1 − cos²θ) ÷ (sin θ cos θ) = sin²θ ÷ (sin θ cos θ) = sin θ ÷ cos θ = tan θ。（3 分）(b) 由 tan θ = 3/4 且 θ 為銳角，取對邊 3、鄰邊 4、斜邊 5，得 sin θ = 3/5，cos θ = 4/5。（2 分） |
| 12 | 兩艘船同時由燈塔 O 出發，OA = 12 km，OB = 9 km，∠AOB = 120°。(a) 求 AB 的距離。(b) 求三角形 OAB 的面積，準確至 3 位有效數字。 | (a) AB² = 12² + 9² − 2 × 12 × 9 × cos 120° = 225 + 108 = 333，故 AB = √333 ≈ 18.2 km。（2 分）(b) 面積 = (1/2) × 12 × 9 × sin 120° = 54 × (√3 ÷ 2) ≈ 46.8 km²。（2 分） |
TutorZone 練習卷｜題目與文章為原創，並非任何學校或出版社的教材。
