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HKDSE 數學（必修部分）Paper 1 模擬卷｜15 題・105 分・2 小時 15 分鐘
練習卷 · HKDSE 數學 Paper 1
HKDSE 數學（必修部分）Paper 1 模擬卷：15 題長題目、105 分、2 小時 15 分鐘，分為甲部（一）、甲部（二）及乙部，涵蓋百分數、指數、二次方程、聯立方程、統計、三角、概率、立體圖形、坐標幾何與數列，全部數值由程式計算並附完整步驟與評分要點。
卷面資料 年級：中六（HKDSE） ｜ 科目：數學 ｜ 時限：135 分鐘 ｜ 總分：105 分 ｜ 題數：15
甲部（一）（35 分）
全部題目均須作答，須列出計算步驟。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | 1. (4 分) 一件外套的成本是 $480，標價比成本高 25%，其後以標價的八五折售出。 (a) 求標價。 (b) 求售價。 (c) 求盈利百分率。 |
答案：(a) 標價 = 480 × 1.25 = $600（1 分） (b) 售價 = 600 × 0.85 = $510（1 分） (c) 盈利 = 510 − 480 = $30（1 分）；盈利百分率 = 30 ÷ 480 × 100% = 6.25%（1 分） |
| 2 | 2. (4 分) 化簡 4^(2n+1) ÷ 8^(n−1)，並求 n = 3 時的值。 |
答案：4^(2n+1) = 2^(4n+2)（1 分）；8^(n−1) = 2^(3n−3)（1 分）； 商 = 2^(4n+2−3n+3) = 2^(n+5)（1 分）； n = 3 時，值 = 2^8 = 256（1 分） |
| 3 | 3. (4 分) 已知 x + 1/x = 5 及 x ≠ 0。 (a) 求 x² + 1/x²。 (b) 由此求 x⁴ + 1/x⁴。 |
答案：(a) (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x² = 25（1 分），故 x² + 1/x² = 23（1 分） (b) (x² + 1/x²)² = x⁴ + 2 + 1/x⁴ = 529（1 分），故 x⁴ + 1/x⁴ = 527（1 分） |
| 4 | 4. (5 分) 一個長方形的周界是 34 cm，面積是 60 cm²。 (a) 設闊為 w cm，以 w 建立一個二次方程。（2 分） (b) 解該方程，並求長方形的長和闊。（3 分） |
答案：(a) 長 = (34 − 2w)/2 = 17 − w；w(17 − w) = 60，即 w² − 17w + 60 = 0（2 分） (b) 判別式 = 17² − 4×60 = 289 − 240 = 49 = 7²（1 分）； w = (17 ± 7)/2 = 5 或 12（1 分）； 故長 12 cm、闊 5 cm（1 分） |
| 5 | 5. (4 分) 解聯立方程 2x + 3y = 18 5x − 2y = 7 |
答案：(1)×2：(2) 4x + 6y = 36（1 分）；(2)×3：15x − 6y = 21（1 分）； 兩式相加：19x = 57，x = 3（1 分）； 代回：2(3) + 3y = 18，y = 4（1 分） 答：x = 3，y = 4 |
| 6 | 6. (5 分) 某組數據為 4, 7, 7, 9, 13。求 (a) 平均數； (b) 中位數； (c) 全距； (d) 標準差（準確至 3 位有效數字）。 |
答案：(a) 平均數 = (4+7+7+9+13)/5 = 40/5 = 8（1 分） (b) 中位數 = 7（1 分） (c) 全距 = 13 − 4 = 9（1 分） (d) 偏差平方和 = 16+1+1+1+25 = 44（1 分）；方差 = 44/5 = 8.8，標準差 = √8.8 ≈ 2.97（1 分） |
| 7 | 7. (4 分) 一把長 6.5 m 的梯子斜靠在一道垂直的牆上，梯腳與牆腳相距 2.5 m。 (a) 求梯頂離地的高度。 (b) 求梯子與地面所成的角（準確至 0.1°）。 |
答案：(a) 由畢氏定理：h² = 6.5² − 2.5² = 42.25 − 6.25 = 36（1 分），h = 6 m（1 分） (b) tan θ = 6/2.5 = 2.4（1 分），θ ≈ 67.4°（1 分） |
| 8 | 8. (5 分) 一個袋中有 5 個紅球、3 個藍球和 2 個綠球。從袋中隨機抽出兩個球，不放回。 (a) 求抽到兩個紅球的概率。 (b) 求至少抽到一個紅球的概率。 |
答案：(a) P(兩個紅球) = (5/10) × (4/9) = 20/90 = 2/9（3 分） (b) P(至少一個紅球) = 1 − P(兩個都不是紅球) = 1 − (5/10 × 4/9) = 1 − 10/45 = 7/9（2 分） |
甲部（二）（35 分）
全部題目均須作答，須列出計算步驟。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 9 | 9. (8 分) 一個實心複合立體由一個圓柱和一個同底圓錐組成。圓柱的半徑是 6 cm、高 10 cm；圓錐的高是 8 cm。 (a) 求該立體的體積，以 π 表示。（3 分） (b) 求該立體的總表面積（包括底面），以 π 表示。（3 分） (c) 若油漆每平方厘米成本 $0.05，求油漆整個表面的費用（準確至最接近的 $0.1）。（2 分） |
答案：(a) V = π(6²)(10) + (1/3)π(6²)(8) = 360π + 96π = 456π cm³ ≈ 1432.6 cm³（3 分） (b) 斜高 = √(6² + 8²) = 10 cm；S = 2π(6)(10) + π(6²) + π(6)(10) = 120π + 36π + 60π = 216π cm² ≈ 678.6 cm²（3 分） (c) 費用 = 216π × 0.05 = 10.8π ≈ $33.9（2 分） |
| 10 | 10. (9 分) 已知 y 部分隨 x 而變，部分隨 x² 而變。當 x = 2 時，y = 10；當 x = 3 時，y = 24。 (a) 以 x 表示 y。（5 分） (b) 求 x = 5 時 y 的值。（2 分） (c) 若 y = 44 且 x > 0，求 x。（2 分） |
答案：(a) 設 y = ax + bx²。2a + 4b = 10 及 3a + 9b = 24（2 分）； 化簡得 a + 2b = 5、a + 3b = 8，故 b = 3、a = −1（2 分）； 答：y = 3x² − x（1 分） (b) x = 5：y = 75 − 5 = 70（2 分） (c) 3x² − x − 44 = 0，判別式 = 1 + 528 = 529 = 23²（1 分）；x = (1 + 23)/6 = 4（1 分） |
| 11 | 11. (9 分) 已知 A(1, 2) 及 B(7, 10)。 (a) 求 AB 的長度。（3 分） (b) 求 AB 的垂直平分線的方程。（3 分） (c) 求以 AB 為直徑的圓的方程。（3 分） |
答案：(a) AB = √((7−1)² + (10−2)²) = √(36 + 64) = 10（3 分） (b) 中點 = (4, 6)；AB 的斜率 = 8/6 = 4/3（1 分），故垂直平分線斜率 = −3/4（1 分）； y − 6 = −3/4 (x − 4)，即 3x + 4y = 36（1 分） (c) 圓心 (4, 6)、半徑 5（1 分）；方程 (x − 4)² + (y − 6)² = 25（2 分） |
| 12 | 12. (9 分) $50,000 存入銀行，年利率 4%，每年複利一次，為期 3 年。 (a) 求 3 年後的本利和及利息（準確至 2 位小數）。（4 分） (b) 若按單利計算，利息會少收多少？（2 分） (c) 若改為每半年複利一次，3 年後的本利和是多少？（3 分） |
答案：(a) 本利和 = 50 000 × 1.04³ = $56 243.20（3 分）；利息 = $6 243.20（1 分） (b) 單利 = 50 000 × 4% × 3 = $6 000；少收 = 6 243.20 − 6 000 = $243.20（2 分） (c) 50 000 × (1.02)⁶ = $56 308.12（3 分） |
乙部（35 分）
全部題目均須作答，須列出計算步驟。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 13 | 13. (11 分) 設 f(x) = x² − 6x + 5。 (a) 以配方法把 f(x) 寫成 (x − h)² + k 的形式。（3 分） (b) 寫出頂點及對稱軸。（2 分） (c) 解 f(x) = 0。（2 分） (d) 求使 f(x) 為負數的 x 範圍。（2 分） (e) 若 g(x) = f(x) − 5，求 g(x) = 0 的根。（2 分） |
答案：(a) f(x) = (x² − 6x + 9) − 9 + 5 = (x − 3)² − 4（3 分） (b) 頂點 (3, −4)（1 分）；對稱軸 x = 3（1 分） (c) (x − 1)(x − 5) = 0，x = 1 或 5（2 分） (d) 圖象開口向上，故 x 在 1 與 5 之間（2 分） (e) g(x) = x² − 6x = x(x − 6)，根為 x = 0 或 6（2 分） |
| 14 | 14. (12 分) 在長方體 ABCDEFGH 中，ABCD 是底面，AB = 8 cm、BC = 6 cm，高 AE = 5 cm。 (a) 求對角線 AC 的長度。（3 分） (b) 求空間對角線 AG 的長度（以根式表示，並取近似值至 2 位小數）。（4 分） (c) 求 AG 與底面 ABCD 所成的角（準確至 0.1°）。（3 分） (d) 求 AG 與棱 AE 所成的角（準確至 0.1°）。（2 分） |
答案：(a) AC = √(8² + 6²) = √100 = 10 cm（3 分） (b) AG = √(8² + 6² + 5²) = √125 = 5√5 ≈ 11.18 cm（4 分） (c) 設 θ 為 AG 與底面的角，tan θ = 5/10 = 0.5（2 分），θ ≈ 26.6°（1 分） (d) cos φ = 5/(5√5)（1 分），φ ≈ 63.4°（1 分） |
| 15 | 15. (12 分) 下表顯示 30 名學生每月閱讀時數（小時）的分布： 0–10：4 人；10–20：8 人；20–30：10 人；30–40：6 人；40–50：2 人。 (a) 求平均數。（4 分） (b) 求中位數所在組及中位數。（4 分） (c) 求閱讀時數少於 20 小時的學生所佔百分率。（2 分） (d) 隨機選出一名學生，求其時數不少於 30 小時的概率。（2 分） |
答案：(a) 總時數 = 5×4 + 15×8 + 25×10 + 35×6 + 45×2 = 20 + 120 + 250 + 210 + 90 = 690（3 分）；平均數 = 690/30 = 23 小時（1 分） (b) 中位數是第 15 及第 16 個數據的平均；累積頻數 4、12，故中位數組為 20–30（2 分）； 中位數 = 20 + (15 − 12)/10 × 10 = 23 小時（2 分） (c) (4 + 8)/30 × 100% = 40%（2 分） (d) (6 + 2)/30 = 4/15 ≈ 0.267（2 分） |
TutorZone 練習卷｜題目與文章為原創，並非任何學校或出版社的教材。
