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HKDSE 數學（必修部分）Paper 1 長題目模擬卷｜8 題・100 分・135 分鐘
練習卷 · HKDSE 數學 Paper 1
HKDSE 數學必修部分 Paper 1 長題目模擬卷：8 題、100 分、2 小時 15 分，涵蓋指數與方程、百分數與複利、坐標幾何、二次函數、三角學、統計、概率與數列，每題附完整步驟及評分分數，所有數值由 Python 計算核對，題目全部原創。
卷面資料 年級：中六（HKDSE） ｜ 科目：數學 ｜ 時限：135 分鐘 ｜ 總分：100 分 ｜ 題數：8
甲部（48 分）
長題目：須列出計算步驟，答案須附單位。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | (a) 化簡 (4x³y−2)² ÷ (8x²y−3)，並以正指數表示答案。（2 分） (b) 解方程 32x−1 = 27x−2。（3 分） (c) 已知 1/x + 1/y = 1/z，其中 x ≠ 0、y ≠ 0、x ≠ z。以 x 及 z 表示 y。（3 分） (d) 解方程 2x² − 7x − 15 = 0。（4 分） |
(a) (16x⁶y−4) ÷ (8x²y−3) = 2 x⁴ y−1 = 2 x⁴ / y ✱2 (b) 32x−1 = 33x−6 ⟹ 2x − 1 = 3x − 6 ⟹ x = 5 ✱3 (c) 1/y = 1/z − 1/x = (x − z)/xz ⟹ y = xz/(x − z) ✱3 (d) (2x + 3)(x − 5) = 0 ⟹ x = −1.5 或 x = 5 ✱4 |
| 2 | (a) 一件外套標價 $640，現以七五折出售。求售價。（2 分） (b) 該外套的成本為 $380，求盈利百分率（準確至三位有效數字）。（3 分） (c) $5,000 存入銀行，年利率 4%，按年複利計算。求 3 年後所得的利息。（3 分） (d) 一部機器價值 $80,000，每年折舊 15%（按年遞減）。求 2 年後的價值。（4 分） |
(a) 640 × 0.75 = $480 ✱2 (b) (480 − 380)/380 × 100% = 26.3% ✱3 (c) 5 000 × 1.04³ − 5 000 = $624.32 ✱3 (d) 80 000 × 0.85² = $57,800 ✱4 |
| 3 | 直角坐標平面上有兩點 A(−2, 3) 及 B(6, 11)，O 為原點。 (a) 求 AB 的長度（準確至三位有效數字）。（3 分） (b) 求 AB 的中點 M 的坐標。（2 分） (c) 求 AB 的垂直平分線的方程。（4 分） (d) 求三角形 OAB 的面積。（3 分） |
(a) √(8² + 8²) = √128 = 11.3 ✱3 (b) M = ((−2 + 6)/2, (3 + 11)/2) = (2, 7) ✱2 (c) 斜率 m = 8/8 = 1，垂直平分線斜率 = −1；過 M：y − 7 = −(x − 2) ⟹ y = −x + 9 ✱4 (d) ½·|(−2)(11) − (6)(3)| = ½·40 = 20 ✱3 |
| 4 | 設 f(x) = 2x² − 12x + 13。 (a) 以配方法把 f(x) 寫成 a(x − h)² + k 的形式，並寫出圖像的頂點坐標。（4 分） (b) 寫出 y = f(x) 的對稱軸。（2 分） (c) 解方程 f(x) = 0（答案準確至三位有效數字）。（3 分） (d) 求 k 的取值範圍，使方程 f(x) = k 有兩個相異實根。（3 分） |
(a) f(x) = 2(x² − 6x) + 13 = 2[(x − 3)² − 9] + 13 = 2(x − 3)² − 5；頂點 (3, −5) ✱4 (b) 對稱軸 x = 3 ✱2 (c) x = (12 ± √40)/4 = 3 ± √10/2 ⟹ x ≈ 4.58 或 1.42 ✱3 (d) 最小值為 −5，故 k > −5 時有兩相異實根 ✱3 |
乙部（52 分）
長題目：須列出計算步驟，答案須附單位。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 5 | 在三角形 ABC 中，AB = 12 cm、AC = 9 cm，且 ∠BAC = 65°。 (a) 求 BC 的長度（準確至三位有效數字）。（3 分） (b) 求三角形 ABC 的面積（準確至三位有效數字）。（3 分） (c) 求 ∠ABC（準確至最接近的 0.1°）。（4 分） (d) 求由 A 至 BC 的最短距離（準確至三位有效數字）。（3 分） |
(a) BC² = 12² + 9² − 2(12)(9)cos 65° = 133.71 ⟹ BC = 11.6 cm ✱3 (b) 面積 = ½(12)(9)sin 65° = 48.9 cm² ✱3 (c) sin∠ABC/9 = sin 65°/11.6 ⟹ ∠ABC = 44.9° ✱4 (d) 最短距離 = 2 × 面積 ÷ BC = 8.46 cm ✱3 |
| 6 | 九個學生的測驗分數如下：12、15、15、18、20、22、25、28、30。 (a) 求平均數（準確至三位有效數字）。（2 分） (b) 求中位數。（2 分） (c) 求全距及四分位距。（4 分） (d) 求標準差（準確至三位有效數字）。（3 分） (e) 若每個分數都加 3，寫出新的平均數及標準差。（2 分） |
(a) (185)/9 = 20.6 ✱2 (b) 排序後第 5 個數據 = 20 ✱2 (c) 全距 = 30 − 12 = 18；Q₁ = 15.0、Q₃ = 26.5 ⟹ 四分位距 = 11.5 ✱4 (d) 標準差 = √(Σ(x − 平均數)²/9) = 5.85 ✱3 (e) 新平均數 = 23.6；標準差 = 5.85（不變） ✱2 |
| 7 | 一個袋中有 5 個紅球、3 個藍球及 2 個綠球，共 10 個球。 (a) 隨機抽出一球，求抽得紅球的概率。（2 分） (b) 接連抽出兩球（抽出後不放回），求兩球皆為紅球的概率。（3 分） (c) 接連抽出兩球（抽出後不放回），求最少有一球為藍球的概率。（4 分） (d) 把 T、U、T、O、R、Z、O、N、E 九個字母全部排列，求不同排列的數目。（4 分） |
(a) P(紅) = 5/10 = 1/2 ✱2 (b) (5/10) × (4/9) = 2/9 ✱3 (c) 1 − C(7,2)/C(10,2) = 1 − 21/45 = 8/15 ✱4 (d) 9!/(2!2!) = 90,720 ✱4 |
| 8 | 某等差數列的首項為 7，公差為 4。 (a) 求該數列的第 10 項。（2 分） (b) 求該數列首 20 項之和。（3 分） (c) 另一等比數列的首項為 3、公比為 2，求其第 6 項。（3 分） (d) 對 (a) 的等差數列，求最小的 n 使首 n 項之和大於 1000。（5 分） |
(a) T₁₀ = 7 + 9(4) = 43 ✱2 (b) S₂₀ = (20/2)[2(7) + 19(4)] = 900 ✱3 (c) T₆ = 3 × 2⁵ = 96 ✱3 (d) n(4n + 10)/2 > 1000 ⟹ 2n² + 5n − 1000 > 0；n = 21 時和為 987（不足），n = 22 時和為 1078 ⟹ 最小 n = 22 ✱5 |
TutorZone 練習卷｜題目與文章為原創，並非任何學校或出版社的教材。
