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IB 數學 AA SL Paper 2 模擬卷（10 題・80 分・可用計算機）
練習卷 · IB 數學 AA
IB 數學 Analysis and Approaches SL Paper 2 模擬卷：10 題、80 分、限時 90 分鐘、准用計算機，涵蓋數列、指數對數、二次函數、三角、概率、微積分、正態分佈、向量、離散分佈與指數模型，附逐步答案與評分要點，適合 IBDP 一年級至二年級考生操卷。
卷面資料 年級：IBDP（Year 12–13） ｜ 科目：數學 ｜ 時限：90 分鐘 ｜ 總分：80 分 ｜ 題數：10
甲部（第 1 至 5 題・40 分）
全部題目均須作答。本卷准用計算機（包括圖形顯示計算機）。除特別指明外，數值答案取三位有效數字，角度取一位小數。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | 數列 {un} 為等差數列，u1 ＝ 7，公差 d ＝ 5；數列 {vn} 為等比數列，v1 ＝ 200，公比 r ＝ 0.8。(a) 求 u20。(b) 求該等差數列首 20 項之和 S20。(c) 求 v5。(d) 求等比數列無限項之和 S∞。 | (a) u20 ＝ 7 ＋ 19 × 5 ＝ 102。(b) S20 ＝ 20 ÷ 2 × (2 × 7 ＋ 19 × 5) ＝ 10 × 109 ＝ 1090。(c) v5 ＝ 200 × 0.84 ＝ 200 × 0.4096 ＝ 81.92。(d) 因 |r| ＝ 0.8 小於 1，S∞ ＝ 200 ÷ (1 − 0.8) ＝ 1000。 |
| 2 | (a) 解方程 32x−1 ＝ 27x−2。(b) 解方程 log2x ＋ log2(x − 2) ＝ 3。(c) 求 log5(1/125) 的值。(d) 化簡 (ln 8 ＋ ln 2) ÷ ln 4。(e) 解 2x ＝ 50，答案取三位有效數字。 | (a) 27 ＝ 33，故 2x − 1 ＝ 3x − 6，得 x ＝ 5。(b) 定義域要求 x 大於 2；x(x − 2) ＝ 8，x2 − 2x − 8 ＝ 0，(x − 4)(x ＋ 2) ＝ 0，x ＝ 4 或 x ＝ −2（不合定義域，捨去），故 x ＝ 4。(c) 1/125 ＝ 5−3，故值為 −3。(d) ln 8 ＋ ln 2 ＝ ln 16，ln 16 ÷ ln 4 ＝ log416 ＝ 2。(e) x ＝ log250 ＝ ln 50 ÷ ln 2 ≈ 5.64。 |
| 3 | 設 f(x) ＝ 2x2 − 8x ＋ 5。(a) 求頂點坐標。(b) 求判別式，並判斷方程 f(x) ＝ 0 有多少個實根。(c) 解 f(x) ＝ 0，答案取三位有效數字。(d) 寫出對稱軸方程及函數的最小值。 | (a) x ＝ 8 ÷ 4 ＝ 2，f(2) ＝ 8 − 16 ＋ 5 ＝ −3，頂點為 (2, −3)。(b) 判別式 ＝ (−8)2 − 4 × 2 × 5 ＝ 64 − 40 ＝ 24 大於 0，故有兩個相異實根。(c) 用求根公式，x ＝ (8 ± √24) ÷ 4 ＝ 2 ± √6 ÷ 2，故 x ≈ 3.22 或 x ≈ 0.775。(d) 對稱軸為 x ＝ 2，最小值為 −3（在頂點取得）。 |
| 4 | 在三角形 ABC 中，a ＝ 8 cm，b ＝ 11 cm，角 C ＝ 35°。(a) 求 c 的長度（三位有效數字）。(b) 求三角形面積（三位有效數字）。(c) 求角 A 及角 B（一位小數）。 | (a) 餘弦定理：c2 ＝ 82 ＋ 112 − 2 × 8 × 11 × cos 35°，即 185 − 144.171 ＝ 40.829，故 c ≈ 6.39 cm。(b) 面積 ＝ 0.5 × 8 × 11 × sin 35° ≈ 25.2 cm2。(c) 正弦定理：sin A ＝ 8 sin 35° ÷ 6.390 ≈ 0.7181，故 A ≈ 45.9°；B ＝ 180° − 35° − 45.9° ≈ 99.1°。 |
| 5 | 一個袋內有 6 個紅球及 4 個藍球。(a) 不放回接連抽出 2 個球，求兩球皆為紅球的概率。(b) 承 (a)，求至少有 1 個藍球的概率。(c) 若每次抽出後放回，共抽 3 次，求恰有 2 次抽到紅球的概率。(d) 承 (c)，若共抽 200 次，求抽到紅球的期望次數。 | (a) 6/10 × 5/9 ＝ 30/90 ＝ 1/3 ≈ 0.333。(b) 1 − 1/3 ＝ 2/3 ≈ 0.667。(c) 三次中選兩次為紅球有 3 種情況，概率 ＝ 3 × 0.62 × 0.4 ＝ 0.432。(d) 期望次數 ＝ 200 × 0.6 ＝ 120 次。 |
乙部（第 6 至 10 題・40 分）
全部題目均須作答。本卷准用計算機（包括圖形顯示計算機）。除特別指明外，數值答案取三位有效數字，角度取一位小數。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 6 | 設曲線 y ＝ x3 − 6x2 ＋ 9x。(a) 求 dy/dx，並求曲線的駐點。(b) 用二階導數判別各駐點的性質，並求對應的 y 值。(c) 求 ∫02(3x2 − 4x ＋ 1)dx。 | (a) dy/dx ＝ 3x2 − 12x ＋ 9 ＝ 3(x − 1)(x − 3)，駐點為 x ＝ 1 及 x ＝ 3。(b) y” ＝ 6x − 12；x ＝ 1 時 y” ＝ −6 小於 0，為極大點，y ＝ 4；x ＝ 3 時 y” ＝ 6 大於 0，為極小點，y ＝ 0。(c) 原函數為 x3 − 2x2 ＋ x，代入上下限得 2 − 0 ＝ 2。 |
| 7 | 隨機變量 X 服從正態分佈，平均值 50，標準差 8。(a) 求 P(X 大於 62)。(b) 求 P(42 小於 X 小於 58)。(c) 求 X 的第 90 百分位數（二位小數）。 | (a) Z ＝ (62 − 50) ÷ 8 ＝ 1.5，P(Z 大於 1.5) ≈ 0.0668。(b) Z 介乎 −1 與 1，概率 ≈ 0.6827。(c) z ≈ 1.2816，X ＝ 50 ＋ 8 × 1.2816 ≈ 60.25。 |
| 8 | 已知向量 a ＝ (3, −2)，b ＝ (−1, 4)。(a) 求 a ＋ b 及其長度。(b) 求 a · b。(c) 求 a 與 b 的夾角（一位小數）。(d) 求與 a 同方向的單位向量（三位有效數字）。 | (a) a ＋ b ＝ (2, 2)，長度 ＝ √8 ≈ 2.83。(b) a · b ＝ 3 × (−1) ＋ (−2) × 4 ＝ −11。(c) |a| ＝ √13 ≈ 3.606，|b| ＝ √17 ≈ 4.123，cos θ ＝ −11 ÷ 14.866 ≈ −0.7399，故 θ ≈ 137.7°。(d) 單位向量 ＝ (3, −2) ÷ 3.606 ≈ (0.832, −0.555)。 |
| 9 | 離散隨機變量 X 的概率分佈如下：X ＝ 0、1、2、3 時，P(X) 分別為 0.1、0.3、0.4、0.2。(a) 求 E(X)。(b) 求 E(X2)。(c) 求 Var(X)。(d) 求 X 的標準差。 | (a) E(X) ＝ 0 × 0.1 ＋ 1 × 0.3 ＋ 2 × 0.4 ＋ 3 × 0.2 ＝ 1.7。(b) E(X2) ＝ 0 ＋ 0.3 ＋ 1.6 ＋ 1.8 ＝ 3.7。(c) Var(X) ＝ 3.7 − 1.72 ＝ 3.7 − 2.89 ＝ 0.81。(d) 標準差 ＝ √0.81 ＝ 0.9。 |
| 10 | 某鎮人口以每年 4% 的比率增長，現時人口為 1 200 人。(a) 求 10 年後的人口（取整數）。(b) 求人口首次超過 2 000 人所需要的年數。(c) 某人存入銀行 5 000 元，年利率 3.6%，按季複利，求 4 年後的本利和（二位小數）。 | (a) 1 200 × 1.0410 ≈ 1 776 人。(b) 1 200 × 1.04t 大於 2 000，即 t 大於 ln(5/3) ÷ ln 1.04 ≈ 13.02，故需 14 年。(c) 5 000 × (1 ＋ 0.036 ÷ 4)16 ≈ 5 770.70 元。 |
TutorZone 練習卷｜題目與文章為原創，並非任何學校或出版社的教材。
