中四數學練習卷：二次方程與二次函數（12 題・100 分・75 分鐘・附答案）｜原創模擬試題

練習卷 · DSE 數學：二次方程與二次函數全卷

本卷共 12 題、100 分、75 分鐘，涵蓋二次方程的因式分解與公式解法、判別式判斷根的性質、配方法求頂點與極值，以及圍欄、拋體與連續整數等應用題。每題附完整步驟與評分要點，適合中四學生於校內試前作全卷計時練習。

卷面資料　年級：中四（S4）　｜　科目：數學　｜　時限：75 分鐘　｜　總分：100 分　｜　題數：12

考生須知：本卷分甲、乙、丙三部，全部題目均須作答，總分 100 分，時限 75 分鐘。

計算題須列出算式與步驟，只寫答案者不獲步驟分；代入公式時須先寫出所用公式，再代入數值。

除特別指明外，數值答案須準確至三位有效數字，並寫出適當單位。

建議先用約 35 分鐘完成甲部，再處理乙部圖像題與丙部應用題，最後覆核判別式與配方的符號。

甲部：二次方程與判別式

因式分解、公式法與根的性質

#	題目	答案與評分要點
1	解方程 x² − 7x + 12 = 0（用因式分解法），並寫出兩根之積。	（a）x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4)，故 x = 3 或 x = 4（6 分）。（b）兩根之積 = 3 × 4 = 12（2 分）。
2	已知方程 kx² + 4x + 2 = 0 有兩個相異實根，求 k 的取值範圍。	（a）判別式 = 4² − 4(k)(2) = 16 − 8k（3 分）。（b）要有兩個相異實根，判別式須大於 0，即 16 − 8k 大於 0，得 k 小於 2（4 分）。（c）二次項係數 k 不可為 0，故 k 小於 2 且 k ≠ 0（1 分）。
3	設 α、β 為方程 x² − 6x + 5 = 0 的兩根，求 α² + β² 的值。	（a）α + β = 6（2 分）。（b）αβ = 5（2 分）。（c）α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 36 − 10 = 26（4 分）。
4	用二次公式解 2x² + 5x − 3 = 0，並寫出兩根之和。	（a）判別式 = 5² − 4(2)(−3) = 25 + 24 = 49（3 分）。（b）x = (−5 ± 7) / 4（3 分）。（c）x = 1/2 或 x = −3（2 分）。（d）兩根之和 = −5/2（1 分）。

配方法、頂點與對稱軸

#	題目	答案與評分要點
5	把 y = x² − 8x + 13 化成 y = (x − h)² + k 的形式，並寫出頂點、對稱軸及最小值。	（a）y = (x − 4)² − 3（4 分）。（b）頂點為 (4, −3)（2 分）。（c）對稱軸為 x = 4（1 分）。（d）最小值為 −3（1 分）。
6	已知 y = −2x² + 12x − 13，求最大值及取得最大值時 x 的值。	（a）y = −2(x² − 6x) − 13 = −2(x − 3)² + 18 − 13 = −2(x − 3)² + 5（4 分）。（b）當 x = 3 時取得最大值（2 分）。（c）最大值為 5（2 分）。
7	若 y = x² + 2x + k 的圖像與 x 軸只有一個交點，求 k；並說明當 k 小於 1 時圖像與 x 軸的相交情況。	（a）判別式 = 4 − 4k = 0，得 k = 1（4 分）。（b）當 k 小於 1 時判別式大於 0，圖像與 x 軸有兩個交點（4 分）。
8	直線 y = mx + 1 與曲線 y = x² − 4x + 5 相交於兩點，求 m 的取值範圍。	（a）由 x² − 4x + 5 = mx + 1 得 x² − (4 + m)x + 4 = 0（3 分）。（b）判別式 = (4 + m)² − 16 須大於 0（3 分）。（c）即 m² + 8m 大於 0，得 m 大於 0 或 m 小於 −8（3 分）。

最大面積、拋體運動與數列應用

#	題目	答案與評分要點
9	用 40 m 的圍欄圍成一個長方形花圃，求最大面積。	（a）設闊為 x m，則長為 (20 − x) m（2 分）。（b）面積 A = x(20 − x) = −(x − 10)² + 100（4 分）。（c）當 x = 10 時面積最大，最大面積為 100 m²（2 分）。
10	一個球被拋出，t 秒後的高度為 h = −5t² + 20t（米）。求最大高度及球落地的時間。	（a）h = −5(t − 2)² + 20（3 分）。（b）當 t = 2 秒時高度最大，為 20 米（3 分）。（c）令 −5t² + 20t = 0，得 t(t − 4) = 0，t = 4 秒落地，t = 0 捨去（2 分）。
11	求以 2 + √3 及 2 − √3 為兩根的二次方程。	（a）兩根之和 = 4（3 分）。（b）兩根之積 = 4 − 3 = 1（3 分）。（c）所求方程為 x² − 4x + 1 = 0（3 分）。
12	兩個連續正整數之積為 156，求該兩個整數。	（a）設兩數為 n 及 n + 1，則 n(n + 1) = 156，即 n² + n − 156 = 0（3 分）。（b）判別式 = 1 + 624 = 625，其平方根為 25（3 分）。（c）(n − 12)(n + 13) = 0，得 n = 12，捨去 n = −13（2 分）。（d）兩數為 12 及 13（1 分）。

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