中文（繁體）
中文（簡體）
English
中四數學練習卷：三角比與應用（100 分）
練習卷 · 中四數學 · 三角比與應用
中四數學練習卷：6 題 22 部分、100 分、60 分鐘。按香港中四數學課程編寫，涵蓋三角比定義、特殊角、仰角測量、餘弦定理與三角形面積、方位角位移及三角方程，每題均附完整答案與逐步評分要點，適合中四校內測驗、期考與公開試前操練。
卷面資料 年級：中四 ｜ 科目：數學 ｜ 時限：60 分鐘 ｜ 總分：100 分 ｜ 題數：22
甲部 第 1 題：三角比定義與特殊角
全部答案須化簡，並在需要時寫出所用的三角比定義。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | （a）在一個直角三角形中，角 θ 的對邊長 8 cm，斜邊長 17 cm。求 sin θ 與 cos θ 的值。 | 答案：sin θ = 8/17，cos θ = 15/17。由畢氏定理，鄰邊為平方根(17² − 8²) = 15 cm，所以 cos θ = 15/17。評分：鄰邊 1 分，sin 1 分，cos 1 分，化簡為分數 1 分。 |
| 2 | （b）不用計算機，求 sin 30° + cos 60° + tan 45° 的值。 | 答案：2。sin 30° = 1/2，cos 60° = 1/2，tan 45° = 1，合計 1/2 + 1/2 + 1 = 2。評分：三個特殊角各 1 分，合計 1 分。 |
| 3 | （c）已知 tan θ = 3/4 且 θ 為銳角，求 sin θ 與 cos θ 的值。 | 答案：sin θ = 3/5，cos θ = 4/5。因 tan θ = 對邊 / 鄰邊，取對邊 3、鄰邊 4，斜邊為 5，故 sin θ = 3/5，cos θ = 4/5。評分：斜邊 1 分，兩個比值各 1 分，說明 θ 為銳角故取正值 1 分。 |
| 4 | （d）求 sin² 35° + cos² 35° + tan 45° 的值。 | 答案：2。同一個銳角的平方和 sin² θ + cos² θ 恒等於 1，而 tan 45° = 1，總和為 2。評分：平方和恒等式 2 分，tan 45° 1 分，合計 1 分。 |
甲部 第 2 題：仰角與實際測量
在平地上的一點 A 測得一座垂直塔頂的仰角為 28°，A 與塔底的水平距離為 60 m。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 5 | （a）求塔高，答案取一位小數。 | 答案：約 31.9 m。tan 28° = 塔高 / 60，所以塔高 = 60 tan 28° = 31.9 m。評分：正確三角比 1 分，代入 1 分，數值 1 分，取一位小數 1 分。 |
| 6 | （b）求由 A 到塔頂的視線距離，答案取一位小數。 | 答案：約 68.0 m。cos 28° = 60 / 視線距離，所以視線距離 = 60 / cos 28° = 68.0 m。評分：餘弦關係 2 分，數值 1 分，單位 1 分。 |
| 7 | （c）若改在塔底正前方 40 m 的 B 點觀察，求塔頂的仰角，答案取一位小數。 | 答案：約 38.6°。tan θ = 31.9 / 40，θ = 38.6°。評分：算式 2 分，數值 1 分，取一位小數 1 分。 |
| 8 | （d）比較在 A 與 B 兩點所測得的仰角，並解釋原因。 | 答案：在 B 測得的仰角較大。塔高不變而水平距離由 60 m 減至 40 m，tan θ 為塔高除以水平距離，分母縮小令比值變大，故仰角上升。評分：指出 B 較大 2 分，連結 tan θ 與水平距離 2 分。 |
甲部 第 3 題：餘弦定理與三角形面積
在三角形 ABC 中，BC = 7 cm，AC = 9 cm，角 C = 42°。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 9 | （a）求 AB 的長度，答案取兩位小數。 | 答案：約 6.03 cm。由餘弦定理，AB² = 7² + 9² − 2 × 7 × 9 × cos 42° = 130 − 93.64 = 36.36，故 AB = 6.03 cm。評分：正確公式 2 分，代入與計算 1 分，數值 1 分。 |
| 10 | （b）求三角形 ABC 的面積，答案取一位小數。 | 答案：約 21.1 cm²。面積 = 1/2 × 7 × 9 × sin 42° = 21.1 cm²。評分：公式 2 分，數值 1 分，單位 1 分。 |
| 11 | （c）求角 A，答案取一位小數。 | 答案：約 51.0°。由正弦公式，sin A / 7 = sin 42° / 6.03，故 sin A = 0.7767，A = 51.0°。評分：正弦公式 2 分，代入 1 分，數值 1 分。 |
| 12 | （d）由此求角 B，並驗算三角形內角和。 | 答案：B ≈ 87.0°。180° − 42° − 51.0° = 87.0°，三者相加為 180°，驗算成立。評分：角 B 數值 2 分，內角和驗算 2 分。 |
甲部 第 4 題：方位角與位移
一艘船由港口 P 出發，先沿方位角 060° 航行 12 km，再沿方位角 150° 航行 9 km。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 13 | （a）求船與港口 P 的直線距離，答案取一位小數。 | 答案：約 15.0 km。兩段位移分解為東西與南北分量：(10.39, 6.00) 加 (4.50, −7.79) = (14.89, −1.79)，距離 = 平方根(14.89² + 1.79²) = 15.0 km。評分：分量 2 分，平方和 1 分，數值 1 分。 |
| 14 | （b）求船最終位置相對港口 P 的方位角，取最接近的度數。 | 答案：約 097°。tan θ = 14.89 / 1.79，東西分量為正、南北分量為負，故方位角為 097°。評分：正切關係 1 分，象限判斷 2 分，度數 1 分。 |
| 15 | （c）船實際航行了 21 km，但與港口的距離只有約 15 km。解釋兩者為何不同。 | 答案：21 km 是路徑長度，15 km 是位移大小。兩段航程方向不同，第二段部分抵消了第一段的位移，故直線距離短於航行總長。評分：區分路徑與位移 2 分，指出方向不同 1 分，抵消概念 1 分。 |
| 16 | （d）若第二段改為沿方位角 240° 航行 9 km，求最終位置與 P 的距離，取一位小數。 | 答案：約 3.0 km。新分量為 (−7.79, −4.50)，合位移為 (2.60, 1.50)，距離 = 平方根(2.60² + 1.50²) = 3.0 km。評分：分量 2 分，合位移 1 分，數值 1 分。 |
乙部 第 5 題：三角方程
本題所有角度以度為單位，解的範圍為 0° 至 360°（包括兩端）。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 17 | （a）解方程 2 sin² x − sin x − 1 = 0，先求 sin x 的可能值。 | 答案：sin x = 1 或 sin x = −1/2。把方程分解為 (2 sin x + 1)(sin x − 1) = 0，故 sin x = −1/2 或 1。評分：分解 3 分，兩個值各 1 分，說明以 sin x 為未知數 1 分。 |
| 18 | （b）由此求方程在指定範圍內的所有解。 | 答案：x = 90°、210°、330°。sin x = 1 給出 90°；sin x = −1/2 在第三、四象限給出 210° 與 330°。評分：90° 1 分，210° 2 分，330° 2 分，答案齊全並排序 1 分。 |
| 19 | （c）解方程 cos 2x = 0.5，其中 0° 至 360°。 | 答案：x = 30°、150°、210°、330°。2x 在 0° 至 720° 內取值 60°、300°、420°、660°，各除以 2。評分：2x 的四個值 3 分，除以 2 得解 3 分。 |
乙部 第 6 題：三角恒等式與應用
本題須寫出完整推導步驟，不可只寫結果。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 20 | （a）證明對於 sin θ 不等於 0 的角 θ，(1 − cos² θ) / sin θ = sin θ。 | 答案：(1 − cos² θ) / sin θ = sin² θ / sin θ = sin θ，用了平方和恒等式 sin² θ + cos² θ = 1。評分：恒等式 2 分，因式分解 2 分，約去 sin θ 並註明 sin θ 不等於 0 得 2 分。 |
| 21 | （b）由此解方程 (1 − cos² x) / sin x = 0.5，其中 0° 至 360°。 | 答案：x = 30°、150°。由（a）得 sin x = 0.5，在第一、二象限給出 30° 與 150°。評分：化為 sin x = 0.5 得 2 分，兩個解各 2 分。 |
| 22 | （c）說明為何 x = 0°、180°、360° 不可能是（b）的解。 | 答案：這三個角的正弦值為 0，令分母 sin x 為 0，原式無定義，所以不能代入；0.5 亦不等於無定義的量。評分：指出 sin 值為 0 得 2 分，分母為 0 無定義得 2 分，結論清楚得 2 分。 |
TutorZone 練習卷｜題目與文章為原創，並非任何學校或出版社的教材。