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中四數學練習卷：三角學、指數與對數、概率（12 題・100 分・75 分鐘）
練習卷 · 中四數學・12 題・100 分・75 分鐘
中四數學練習卷：12 題、100 分、75 分鐘。題型涵蓋方位角與餘弦定理、三角方程、長方體的對角線與傾角、指數律與對數方程、指數增長、聲強級、古典概率、條件概率與計數原理，以及平均數、中位數與標準差，每題附完整步驟及評分要點。
卷面資料 年級：中四（S4） ｜ 科目：數學 ｜ 時限：75 分鐘 ｜ 總分：100 分 ｜ 題數：12
甲部：三角學
全部小題均須作答，計算題須列出步驟及單位。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | 某船由 A 點出發，先以方位角 065° 航行 12 km 到達 B 點，然後轉向方位角 155° 航行 9 km 到達 C 點。 (a) 求 A 至 C 的距離。 (b) 求 C 點相對 A 點的方位角（準確至最接近的度）。 (c) 若船由 C 點以 9 km/h 直接返回 A 點，需時多少小時多少分鐘？ |
(a) 兩段航線的方位角相差 155° − 65° = 90°，故 B 點為直角。AC² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225，AC = 15 km。 (b) 在 A 點，AB 與 AC 的夾角 θ 滿足 tan θ = 9 ÷ 12 = 0.75，θ ≈ 36.9°。故 C 的方位角 = 65° + 36.9° ≈ 102°。 (c) 時間 = 15 ÷ 9 = 1.667 小時 = 1 小時 40 分鐘。 |
| 2 | 在三角形 ABC 中，AB = 8 cm，BC = 11 cm，∠ABC = 118°。 (a) 求 AC 的長度（準確至 0.1 cm）。 (b) 求 ∠BAC（準確至 0.1°）。 (c) 求三角形 ABC 的面積（準確至 0.1 cm²）。 |
(a) 由餘弦定理，AC² = 8² + 11² − 2 × 8 × 11 × cos 118° = 185 + 82.6 = 267.6，故 AC = 16.4 cm。 (b) 由正弦定理，sin ∠BAC ÷ 11 = sin 118° ÷ 16.36，得 sin ∠BAC = 0.594，故 ∠BAC = 36.4°。 (c) 面積 = ½ × 8 × 11 × sin 118° = 38.8 cm²。 |
| 3 | 考慮方程 2 sin²x + sin x − 1 = 0。 (a) 把方程的左邊分解為兩個一次因式。 (b) 求 0° ≤ x ≤ 360° 內的所有解。 (c) 求同一方程在 0° ≤ x ≤ 720° 內的所有解，並寫出解的數目。 |
(a) 設 u = sin x，則 2u² + u − 1 = (2u − 1)(u + 1)，故方程可寫成 (2 sin x − 1)(sin x + 1) = 0。 (b) 2 sin x − 1 = 0 給出 sin x = 0.5，即 x = 30° 或 150°；sin x + 1 = 0 給出 sin x = −1，即 x = 270°。 (c) 把每個解加 360°，得 30°、150°、270°、390°、510°、630°，共 6 個解。 |
| 4 | 長方體 ABCDEFGH 的長、闊、高分別為 8 cm、6 cm 及 5 cm，其中 ABCD 為底面，CG 為其中一條側棱。 (a) 求底面對角線 AC 的長度。 (b) 求空間對角線 AG 的長度（準確至 0.1 cm）。 (c) 求 AG 與底面 ABCD 的夾角（準確至 0.1°），並說明所用的三角形。 |
(a) AC² = 8² + 6² = 100，故 AC = 10 cm。 (b) CG 垂直於底面，故三角形 ACG 在 C 點成直角：AG² = AC² + CG² = 100 + 25 = 125，AG = 11.2 cm。 (c) 在直角三角形 ACG 中，tan θ = CG ÷ AC = 5 ÷ 10 = 0.5，故 θ = 26.6°。 |
乙部：指數與對數
全部小題均須作答，數值答案須準確至指定小數位。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 5 | (a) 不用計算機，求 8^(2/3)、16^(−3/4) 及 27^(2/3) 的值。 (b) 解方程 3^(2x − 1) = 27^(x − 2)。 (c) 化簡 (a³b⁻²)² ÷ (a⁻¹b³)，並以正指數表示答案。 |
(a) 8^(2/3) = (∛8)² = 4；16^(−3/4) = 1 ÷ 16^(3/4) = 1 ÷ 8 = 0.125；27^(2/3) = (∛27)² = 9。 (b) 因為 27 = 3³，所以 27^(x − 2) = 3^(3x − 6)。比較指數得 2x − 1 = 3x − 6，故 x = 5。 (c) 分子 = a⁶b⁻⁴；除以 a⁻¹b³ 得 a^(6+1)b^(−4−3) = a⁷b⁻⁷ = a⁷ ÷ b⁷。 |
| 6 | (a) 求 log₃ 54 − log₃ 2 的值。 (b) 解方程 log₂(x + 3) + log₂(x − 3) = 4。 (c) 說明 (b) 中另一個代數根為何不被接納。 |
(a) log₃ 54 − log₃ 2 = log₃(54 ÷ 2) = log₃ 27 = 3，因為 3³ = 27。 (b) 合併對數得 log₂((x + 3)(x − 3)) = 4，即 x² − 9 = 2⁴ = 16，故 x² = 25，x = 5 或 x = −5。 (c) 對數的真數必須為正數，故 x + 3 與 x − 3 均須大於零；x = −5 使 x + 3 為負，因此捨去，唯一解為 x = 5。 |
| 7 | 某培養皿的細菌數目 N 隨時間 t（小時）按公式 N = 500 × 2^(t/3) 增長。 (a) 求開始 18 小時後的細菌數目。 (b) 求細菌數目首次達到 100 000 所需的時間（準確至 0.1 小時）。 (c) 求細菌數目首次超過 1 000 000 的整數小時，並解釋為何取整數。 |
(a) N = 500 × 2^(18 ÷ 3) = 500 × 2⁶ = 32000。 (b) 需 500 × 2^(t/3) = 100 000，即 2^(t/3) = 200。取對數得 t = 3 × log 200 ÷ log 2 = 22.9 小時。 (c) 需 2^(t/3) = 2000，t = 3 × log 2000 ÷ log 2 = 32.9 小時；細菌數目只在整點統計，故首次超過 1 000 000 為第 33 小時。 |
| 8 | 聲音的聲強級 L（分貝）與聲強 I（W m⁻²）的換算公式為 L = 10 log₁₀(I ÷ I₀)，其中 I₀ 為參考聲強。 (a) 求 75 dB 與 60 dB 兩個聲響的聲強之比。 (b) 某機器單獨運作時聲強級為 60 dB。若同時開動同款機器，需要多少部才達到 75 dB？ (c) 說明聲強級增加 3 dB 代表聲強增加多少倍。 |
(a) 兩者的分貝差為 15，故 I₂ ÷ I₁ = 10^(15 ÷ 10) = 10^1.5 = 31.6，即約 32 倍。 (b) 同款機器的聲強相同，故需約 32 部（實際上取 32 部）才達到 75 dB。 (c) 10 log₁₀ 2 = 3.0，故聲強加倍時聲強級增加約 3 dB；反過來，增加 3 dB 即聲強約增加 2 倍。 |
丙部：概率與統計
全部小題均須作答，解釋題須引用公式或原理。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 9 | 袋中有 5 個紅球及 3 個藍球，共 8 個球。隨機抽出 2 個球，每次抽出後不放回。 (a) 求兩個球皆為紅色的概率。 (b) 求恰有一個紅球的概率。 (c) 求至少有一個藍球的概率，並以 (a) 的結果解釋。 |
(a) P(紅, 紅) = (5 ÷ 8) × (4 ÷ 7) = 20 ÷ 56 = 5 ÷ 14 ≈ 0.357。 (b) 紅藍與藍紅兩種次序：P = 2 × (5 ÷ 8) × (3 ÷ 7) = 30 ÷ 56 = 15 ÷ 28 ≈ 0.536。 (c) 「至少一個藍球」是「兩個皆紅」的餘事件，故 P = 1 − 5 ÷ 14 = 9 ÷ 14 ≈ 0.643。 |
| 10 | 某校 120 名學生中，72 人喜歡數學，45 人喜歡物理，30 人同時喜歡這兩科。現隨機選出一名學生。 (a) 求該學生喜歡數學的概率。 (b) 已知該學生喜歡數學，求他喜歡物理的概率。 (c) 判斷「喜歡數學」與「喜歡物理」是否獨立事件，並以計算說明。 |
(a) P(數學) = 72 ÷ 120 = 0.6。 (b) P(物理 | 數學) = 30 ÷ 72 = 5 ÷ 12 ≈ 0.417。 (c) P(數學) × P(物理) = 0.6 × 0.375 = 0.225，而 P(兩科) = 30 ÷ 120 = 0.25；兩者不相等，故兩事件不獨立（喜歡數學的學生較傾向喜歡物理）。 |
| 11 | 某班有 5 名男生及 4 名女生，共 9 人。 (a) 由 9 人中選出 3 人組成委員會，共有多少種選法？ (b) 若委員會的 3 人中至少要有 1 名女生，共有多少種選法？ (c) 若由 9 人中選出 4 人，其中恰有 2 名女生，共有多少種選法？ |
(a) C(9, 3) = 84。 (b) 用全部選法減去全為男生的選法：84 − C(5, 3) = 84 − 10 = 74。 (c) 先選 2 名女生再選 2 名男生：C(4, 2) × C(5, 2) = 6 × 10 = 60。 |
| 12 | 某組九名學生的測驗分數為 10、12、14、16、18、20、22、24、26。 (a) 求平均數及中位數。 (b) 求標準差，以 n 為分母（準確至 0.01）。 (c) 若加入一名得 28 分的學生，求新數據的平均數及標準差（準確至 0.01），並比較兩者的分散程度。 |
(a) 總和 = 162，平均數 = 162 ÷ 9 = 18；中位數（第 5 個數據）= 18。 (b) 離差平方和 = 240.0，方差 = 240.0 ÷ 9 = 26.67，標準差 = 5.16。 (c) 新總和 = 190，平均數 = 19；平方和由 3156 增至 3940，方差 = 3940 ÷ 10 − 19² = 33，標準差 = 5.74，分散程度略增。 |
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