中四數學練習卷：二次方程與函數

解二次方程 2x² − 7x + 3 = 0。

(a) 以十字相乘法把左邊因式分解。（3 分）
(b) 由此求方程的兩個根。（2 分）
(c) 驗證兩根之和與兩根之積是否等於 −b/a 與 c/a。（2 分）

(a) 2x² − 7x + 3 = (2x − 1)(x − 3)。找兩個數相乘為 2 × 3 = 6、相加為 −7，即 −1 與 −6，分拆中間項後分組得 (2x − 1)(x − 3)。（3 分）
(b) 2x − 1 = 0 或 x − 3 = 0，故 x = 0.5 或 x = 3。（2 分）
(c) 兩根之和 = 0.5 + 3 = 3.5 = −b/a = 7/2；兩根之積 = 0.5 × 3 = 1.5 = c/a = 3/2，兩者都符合。（2 分）

某二次方程的兩個根為 4 與 −3。

(a) 求兩根之和與兩根之積。（3 分）
(b) 由此寫出該二次方程（以 x² 係數為 1 表示）。（2 分）
(c) 若兩根記為 α 與 β，求 α² + β²。（2 分）

(a) 兩根之和 = 4 + (−3) = 1；兩根之積 = 4 × (−3) = -12。（3 分）
(b) 方程為 x² − (和)x + (積) = 0，即 x² − x − 12 = 0。（2 分）
(c) α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 1² − 2(-12) = 1 + 24 = 25。（2 分）

已知二次方程 x² + kx + 9 = 0 有重根（兩個相等的根）。

(a) 求 k 的所有可能值。（3 分）
(b) 當 k = −6 時，求該重根。（2 分）
(c) 當 k = 6 時，求該重根，並說明兩個情況的圖像分別與 x 軸有多少個交點。（2 分）

(a) 重根即判別式為零：k² − 4(1)(9) = 0，k² = 36，故 k = 6 或 k = -6。（3 分）
(b) k = −6 時方程為 x² − 6x + 9 = 0，即 (x − 3)² = 0，重根 x = 3。（2 分）
(c) k = 6 時方程為 x² + 6x + 9 = 0，即 (x + 3)² = 0，重根 x = -3。兩種情況判別式均為零，圖像都只與 x 軸有 一個 交點（相切）。（2 分）

考慮二次函數 y = x² + 8x + 5。

(a) 以配方法把函數寫成 y = (x + h)² + k 的形式。（3 分）
(b) 由此寫出頂點坐標及最小值。（2 分）
(c) 解方程 x² + 8x + 5 = 0，答案準確至三位有效數字。（2 分）

(a) x² + 8x + 5 = (x + 4)² − 16 + 5 = (x + 4)² − 11。（3 分）
(b) 頂點為 (-4, -11)，因 (x + 4)² ≥ 0，最小值為 -11。（2 分）
(c) (x + 4)² = 11，x + 4 = ±√11，故 x = -0.683 或 x = -7.317。（2 分）

兩個數之和為 14，積為 45。

(a) 設其中一個數為 x，列出一個以 x 為未知數的一元二次方程。（3 分）
(b) 解該方程，求出這兩個數。（3 分）
(c) 若兩數之和仍為 14，但積改為 60，方程是否有實根？試用判別式解釋。（2 分）

(a) 另一數為 14 − x，由積為 45 得 x(14 − x) = 45，即 x² − 14x + 45 = 0。（3 分）
(b) 判別式 = 196 − 180 = 16，x = (14 ± 4) / 2，得 x = 9 或 5。故兩數為 5 與 9。（3 分）
(c) 新方程為 x² − 14x + 60 = 0，判別式 = 196 − 240 = −44 < 0，沒有實根，即在兩數之和固定為 14 時，積不可能達到 60（最大積為 7 × 7 = 49）。（2 分）

考慮函數 y = x² − 4x + 1 的圖像。

(a) 以配方法寫出函數的頂點式。（2 分）
(b) 寫出頂點坐標、對稱軸及函數的最小值。（2 分）
(c) 求圖像的 y 軸截距。（2 分）
(d) 求圖像的 x 軸截距，答案準確至三位有效數字。（2 分）

(a) y = x² − 4x + 1 = (x − 2)² − 4 + 1 = (x − 2)² − 3。（2 分）
(b) 頂點 (2, -3)，對稱軸 x = 2，最小值 -3。（2 分）
(c) 令 x = 0，y = 1，故 y 軸截距為 1。（2 分）
(d) (x − 2)² = 3，x = 2 ± √3，故 x 軸截距為 3.732 與 0.268。（2 分）

設 α 與 β 為二次方程 x² − 3x − 5 = 0 的兩個根。

(a) 不求方程的根，寫出 α + β 與 αβ 的值。（3 分）
(b) 由此求 α² + β² 的值。（3 分）
(c) 求 1/α + 1/β 的值。（2 分）

(a) 由根與係數之關聯：α + β = 3，αβ = -5。（3 分）
(b) α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 3² − 2(-5) = 9 + 10 = 19。（3 分）
(c) 1/α + 1/β = (α + β) / (αβ) = 3 / (-5) = -0.6。（2 分）

解下列二次不等式，並以不等式或區間形式表示答案。

(a) x² − 5x + 6 < 0（4 分）
(b) x² − 2x − 8 ≥ 0（4 分）

(a) x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)，根為 2 與 3。拋物線開口向上，小於零的範圍在兩根之間，故解為 2 < x < 3（即 (2, 3)）。（4 分）
(b) x² − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2)，根為 4 與 −2。開口向上，大於或等於零的範圍在兩根之外，故解為 x ≤ −2 或 x ≥ 4。（4 分）

一個長方形花園的周界為 40 m，面積為 96 m²。

(a) 設長方形的闊為 w m，列出方程並求花園的長與闊。（4 分）
(b) 若周界保持 40 m 不變，求花園可能的最大面積。（3 分）
(c) 利用配方或圖像解釋為何最大面積在正方形時出現。（3 分）

(a) 長 + 闊 = 20，故長 = (20 − w) m。w(20 − w) = 96，即 w² − 20w + 96 = 0。判別式 = 400 − 384 = 16，w = (20 ± 4) / 2 = 8 或 12。故花園為 8 m × 12 m。（4 分）
(b) 設闊為 w，面積 A = w(20 − w) = −(w − 10)² + 100，故最大面積為 100 m²。（3 分）
(c) 配方後 A = 100 − (w − 10)²，因為 (w − 10)² ≥ 0，A 只在 w = 10 時最大，此時長 = 闊 = 10 m，即正方形，所以周界固定時正方形面積最大。（3 分）

某小店每月售出 x 件貨品，每月利潤 P（以百元為單位）滿足 P = −2x² + 40x − 150，其中 x 為正整數。

(a) 求收支平衡（P = 0）時的 x 值。（3 分）
(b) 求每月最大利潤及對應的銷量。（3 分）
(c) 若小店每月最多只能售出 8 件，求此時的最大利潤，並解釋為何不能達到 (b) 的答案。（4 分）

(a) 令 P = 0：−2x² + 40x − 150 = 0，兩邊除以 −2 得 x² − 20x + 75 = 0，即 (x − 5)(x − 15) = 0，故 x = 15 或 x = 5。（3 分）
(b) 配方：P = −2(x² − 20x) − 150 = −2[(x − 10)² − 100] − 150 = −2(x − 10)² + 50。故 x = 10 時利潤最大，為 50 百元（即 $5000）。（3 分）
(c) 限制 x ≤ 8 位於頂點的左方，函數在此區間遞增，故最大利潤在 x = 8：P(8) = −2(64) + 320 − 150 = 42 百元（即 $4200），未能達到 x = 10 的 50 百元，因為每月最多只可售 8 件。（4 分）

曲線 y = x² + (k − 2)x + 9 與 x 軸相切（只有一個交點）。

(a) 求 k 的所有可能值。（4 分）
(b) 當 k = 8 時，求切點坐標。（3 分）
(c) 當 k = −4 時，求切點坐標，並比較兩條曲線的對稱軸。（3 分）

(a) 相切即判別式為零：(k − 2)² − 4(1)(9) = 0，(k − 2)² = 36，k − 2 = ±6，故 k = 8 或 k = -4。（4 分）
(b) k = 8 時 y = x² + 6x + 9 = (x + 3)²，切點為 (-3, 0)。（3 分）
(c) k = −4 時 y = x² − 6x + 9 = (x − 3)²，切點為 (3, 0)。兩條曲線的對稱軸分別為 x = -3 與 x = 3，互相對稱於 y 軸兩側。（3 分）

解聯立方程 y = x² − 2x 與 y = 2x − 3。

(a) 以代入法解方程，求 x 的值。（4 分）
(b) 求兩圖形的交點坐標。（3 分）
(c) 由此說明直線 y = 2x − 3 與拋物線 y = x² − 2x 的幾何意義。（3 分）

(a) 代入得 x² − 2x = 2x − 3，即 x² − 4x + 3 = 0，(x − 1)(x − 3) = 0，故 x = 1 或 x = 3。（4 分）
(b) x = 1 時 y = -1；x = 3 時 y = 3。交點為 (1, -1) 與 (3, 3)。（3 分）
(c) 聯立方程有兩個相異實根，表示直線與拋物線相交於 兩點，該直線是拋物線的一條割線（弦），而不是切線。（3 分）