中四數學練習卷：二次方程、函數圖像與應用（12 題・100 分）

解下列二次方程，須展示步驟。

(a) x² – 7x + 12 = 0

(b) 2x² + 5x – 3 = 0

(a) (x – 3)(x – 4) = 0，故 x = 3 或 x = 4。

(b) (2x – 1)(x + 3) = 0，故 x = 1/2 或 x = -3。

評分要點：正確因式分解各得 1 分，寫出兩個根各得 1 分。

已知二次方程 x² + kx + 9 = 0，其中 k 為常數。

(a) 若方程有重根（兩個相等實根），求 k 的所有可能值。

(b) 若 k = -10，求方程的根，並判斷根的性質。

(a) 重根須判別式為 0：k² – 36 = 0，故 k = 6 或 k = -6。

(b) k = -10 時方程為 x² – 10x + 9 = 0，判別式 = 100 – 36 = 64 > 0，故有兩個相異實根；(x – 1)(x – 9) = 0，x = 1 或 x = 9。

評分要點：判別式條件 2 分，兩個 k 值 2 分，判別式計算 2 分，根 2 分。

以配方法把 y = x² – 6x + 5 寫成 y = (x – h)² + k 的形式，並寫出圖像的頂點、對稱軸及最小值。

y = x² – 6x + 5 = (x² – 6x + 9) – 9 + 5 = (x – 3)² – 4。

頂點為 (3, -4)，對稱軸為 x = 3，最小值為 -4。

評分要點：配方過程 4 分，頂點 2 分，對稱軸 1 分，最小值 2 分。

設 α、β 為方程 3x² – 7x + 2 = 0 的兩個根。

(a) 求 α + β 及 αβ。

(b) 求 1/α + 1/β 的值。

(c) 由此求 α 及 β 的值。

(a) α + β = 7/3，αβ = 2/3。

(b) 1/α + 1/β = (α + β)/(αβ) = (7/3) ÷ (2/3) = 7/2。

(c) 3x² – 7x + 2 = (3x – 1)(x – 2)，故 α、β 為 1/3 及 2（順序不限）。

評分要點：和與積各 1 分，通分後代值 2 分，因式分解與根 4 分。

一個球從離地 1 m 處以 20 m/s 向上拋出，其離地高度 h（米）與時間 t（秒）的關係為 h = -5t² + 20t + 1。

(a) 求球到達最高點所需的時間及最高高度。

(b) 求球着地所需的時間（取 3 位有效數字）。

(a) h = -5(t – 2)² + 21，故 t = 2 s 時達最高點，最高高度為 21 m。

(b) 令 h = 0：-5t² + 20t + 1 = 0，t = [20 + √(400 + 20)]/10 = (20 + √420)/10 ≈ 4.05 s（捨去負值）。

評分要點：配方或頂點公式 3 分，最高高度 1 分，設 h = 0 並解方程 4 分，取正根及單位 1 分。

解下列二次不等式。

(a) x² – 5x + 6 < 0

(b) x² – 2x – 8 ≥ 0

(a) x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) < 0，故 2 < x < 3。

(b) x² – 2x – 8 = (x – 4)(x + 2) ≥ 0，故 x ≤ -2 或 x ≥ 4。

評分要點：每題因式分解 1 分、答案 3 分；用區間表示同樣接受。

考慮函數 y = 2x² – 8x + 3。

(a) 求圖像的對稱軸及頂點。

(b) 寫出函數的最小值及值域。

(c) 描述圖像由 y = 2x² 經甚麼變換得到。

(a) y = 2(x² – 4x) + 3 = 2(x – 2)² – 5，對稱軸 x = 2，頂點 (2, -5)。

(b) 因 a = 2 > 0，最小值為 -5，值域為 y ≥ -5。

(c) 把 y = 2x² 的圖像向右平移 2 單位、向下平移 5 單位。

評分要點：配方 3 分，對稱軸與頂點 2 分，最小值與值域 2 分，變換描述 1 分。

某商店售賣一款文具，售價為 $(80 – x)，每月可售出 (20 + 2x) 件，其中 0 ≤ x ≤ 60。

(a) 證明每月收入 R（元）可表示為 R = -2x² + 140x + 1600。

(b) 求 x 的值使收入最大，並求最大收入。

(a) R = (80 – x)(20 + 2x) = 1600 + 160x – 20x – 2x² = -2x² + 140x + 1600。

(b) R = -2(x – 35)² + 4050，故 x = 35 時收入最大，最大收入為 $4050。

評分要點：展開 3 分，配方 3 分，x 值 2 分，最大收入 1 分。

解聯立方程 y = x² – 2x 及 y = x + 4。

由兩式得 x² – 2x = x + 4，即 x² – 3x – 4 = 0，(x – 4)(x + 1) = 0，x = 4 或 x = -1。

當 x = 4，y = 8；當 x = -1，y = 3。解為 (4, 8) 及 (-1, 3)。

評分要點：消 y 得二次方程 3 分，因式分解 2 分，兩組解各 1 分，對應 y 值 2 分。

已知某二次方程的兩個根為 2 + √3 及 2 – √3。

(a) 求兩根之和與兩根之積。

(b) 由此求該二次方程（x² 的係數為 1）。

(c) 求該方程的判別式，並解釋其結果。

(a) 和 = (2 + √3) + (2 – √3) = 4；積 = (2 + √3)(2 – √3) = 4 – 3 = 1。

(b) 方程為 x² – 4x + 1 = 0。

(c) 判別式 = 16 – 4 = 12 > 0，故有兩個相異實根，與題設相符。

評分要點：和、積各 1 分，方程 4 分，判別式及解釋 2 分。

解方程 x⁴ – 5x² + 4 = 0。

設 u = x²，則 u² – 5u + 4 = 0，(u – 1)(u – 4) = 0，u = 1 或 u = 4。

當 x² = 1，x = 1 或 x = -1；當 x² = 4，x = 2 或 x = -2。故 x = ±1 或 x = ±2。

評分要點：換元 2 分，解 u 2 分，四根各 1 分。

用 40 m 的圍欄圍出一個矩形花圃，其中一邊靠着牆，該邊不需圍欄。

(a) 設垂直於牆的邊長為 x m，以 x 表示花圃面積 A（m²）。

(b) 求 A 的最大值及對應的尺寸。

(a) 垂直於牆的兩邊各長 x m，平行於牆的一邊長 (40 – 2x) m，故 A = x(40 – 2x) = -2x² + 40x（0 < x < 20）。

(b) A = -2(x – 10)² + 200，故 x = 10 時 A 最大為 200 m²，尺寸為 10 m × 20 m。

評分要點：列出 A 的表達式 3 分，配方 3 分，x 值 2 分，最大面積及尺寸 1 分。