中文（繁體）
中文（簡體）
English
中五數學延伸部分單元二練習卷：歸納法、二項式定理、數列極限、微分與積分（100 分）
練習卷 · 數學延伸部分單元二 歸納法與微積分
中五數學延伸部分單元二練習卷：全卷 6 題 21 部分、100 分、60 分鐘，涵蓋數學歸納法證明與整除性、二項式定理求指定項與常數項、數列極限、無窮等比級數求和、連鎖律與乘積法則求導、切線方程、局部極值與二階導數判別法，以及定積分求面積與代換積分，每題附評分要點。
卷面資料 年級：S5 ｜ 科目：數學延伸部分單元二 ｜ 時限：60 分鐘 ｜ 總分：100 分 ｜ 題數：21
甲部 數學歸納法
本部分共 3 題，合計 16 分，全部須作答。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | 用數學歸納法證明：對所有正整數 n，1² + 2² + 3² + … + n² = n(n+1)(2n+1)/6。 | 答案：當 n = 1，左邊 = 1、右邊 = 1×2×3/6 = 1，基礎步成立。假設 n = k 時成立，即前 k 項平方和 = k(k+1)(2k+1)/6；則 n = k+1 時，和 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)² = (k+1)[k(2k+1) + 6(k+1)]/6 = (k+1)(2k² + 7k + 6)/6 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6，正是 n = k+1 的形式。由數學歸納法原理，命題對所有正整數成立。（評分：基礎步 2 分、歸納假設 2 分、代數整理 2 分、結論 2 分） |
| 2 | 利用 (a) 的結果，求 1² + 2² + … + 20² 的值。 | 答案：前 20 項平方和 = 20×21×41/6 = 17220/6 = 2870。（評分：代入公式 2 分、數值 2 分） |
| 3 | 用數學歸納法證明：對所有正整數 n，3^(2n) − 1 可被 8 整除。 | 答案：n = 1 時 3² − 1 = 8，可被 8 整除。假設 n = k 時成立，即 3^(2k) − 1 = 8m；則 n = k+1 時，3^(2k+2) − 1 = 9×3^(2k) − 1 = 9(8m + 1) − 1 = 72m + 8 = 8(9m + 1)，仍可被 8 整除。由歸納法原理，命題對所有正整數成立。（評分：基礎步 1 分、歸納步 2 分、結論 1 分） |
乙部 二項式定理
本部分共 3 題，合計 18 分，全部須作答。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 4 | 展開 (2x − 3)^5，並寫出 x³ 項與常數項。 | 答案：一般項為 C(5,r)(2x)^r(−3)^(5−r)。r = 3 時得 C(5,3)×2³×(−3)² = 10×8×9 = 720，即 720x³；r = 0 時常數項 = (−3)^5 = −243。故 (2x − 3)^5 = 32x^5 − 240x^4 + 720x^3 − 1080x^2 + 810x − 243。（評分：一般項 2 分、x³ 項 2 分、常數項 1 分、完整展開 1 分） |
| 5 | 求 (x² + 2/x)^9 展開式中獨立於 x 的項。 | 答案：一般項 = C(9,r)(x²)^(9−r)(2/x)^r = C(9,r)2^r x^(18−3r)。令 18 − 3r = 0 得 r = 6，故該項 = C(9,6)×2^6 = 84×64 = 5376。（評分：一般項 2 分、定出 r 2 分、數值 2 分） |
| 6 | 求 (1 + x)^6 (1 − x)^6 展開式中 x⁴ 項。 | 答案：(1 + x)^6(1 − x)^6 = (1 − x²)^6，一般項為 C(6,r)(−x²)^r。x⁴ 對應 r = 2，故該項 = C(6,2)(−1)²x⁴ = 15x⁴。（評分：化簡為單一二項式 2 分、定出 r 2 分、x⁴ 項 2 分） |
丙部 數列極限與無窮級數
本部分共 4 題，合計 16 分，全部須作答。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 7 | 求 lim(n→∞) (3n² + 2n − 1)/(2n² − 5)。 | 答案：分子分母同除以 n²，得 (3 + 2/n − 1/n²)/(2 − 5/n²)。當 n 趨向無窮，2/n 與 1/n²、5/n² 均趨向 0，故極限 = 3/2。（評分：同除 n² 2 分、極限值 2 分） |
| 8 | 求 lim(n→∞) (√(n² + 4n) − n)。 | 答案：分子分母同乘共軛式 √(n²+4n) + n，得 4n/(√(n²+4n) + n)，再上下同除 n 得 4/(√(1 + 4/n) + 1)。當 n 趨向無窮，該式趨向 4/(1 + 1) = 2。（評分：共軛處理 2 分、化簡與極限 2 分） |
| 9 | 求無窮級數 Σ(r=1 至 ∞) (3/4)^r 的和。 | 答案：首項 a = 3/4、公比 r = 3/4，公比的絕對值少於 1，故級數收斂，和 = a/(1 − r) = (3/4)/(1/4) = 3。（評分：辨認等比 2 分、求和公式與結果 2 分） |
| 10 | 求無窮級數 Σ(r=1 至 ∞) r/2^r 的和。 | 答案：設 S = Σ r/2^r，則 S − S/2 = Σ (r − (r − 1))/2^r = Σ 1/2^r = 1，故 S/2 = 1、S = 2。（評分：錯位相減 2 分、等比求和與結果 2 分） |
丁部 微分技巧
本部分共 4 題，合計 18 分，全部須作答。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 11 | 設 y = (3x² − 5x + 2)^4，求 dy/dx 在 x = 2 時的值。 | 答案：由連鎖律，dy/dx = 4(3x² − 5x + 2)³(6x − 5)。x = 2 時內層 = 12 − 10 + 2 = 4，4³ = 64，6x − 5 = 7，故 dy/dx = 4×64×7 = 1792。（評分：連鎖律 2 分、代入內層 1 分、數值 2 分） |
| 12 | 設 y = x² ln x，求 dy/dx 在 x = e 時的值。 | 答案：由乘積法則，dy/dx = 2x ln x + x²(1/x) = 2x ln x + x。x = e 時 ln e = 1，故 dy/dx = 2e + e = 3e，約為 8.15。（評分：乘積法則 2 分、化簡 1 分、數值 1 分） |
| 13 | 設 y = e^(2x) cos 3x，求 dy/dx，並求 x = 0 時的值。 | 答案：由乘積法則與連鎖律，dy/dx = 2e^(2x)cos 3x − 3e^(2x)sin 3x = e^(2x)(2cos 3x − 3sin 3x)。x = 0 時 cos 0 = 1、sin 0 = 0，故 dy/dx = 1×(2 − 0) = 2。（評分：乘積法則 2 分、兩個導數項各 1 分、x = 0 的值 1 分） |
| 14 | 求曲線 y = x³ − 4x 在 x = 2 處的切線方程。 | 答案：dy/dx = 3x² − 4，x = 2 時斜率 = 12 − 4 = 8；切點 y 坐標 = 8 − 8 = 0，即 (2, 0)。切線方程為 y = 8(x − 2)，化簡得 y = 8x − 16。（評分：斜率 2 分、切點 1 分、方程 1 分） |
戊部 微分應用
本部分共 3 題，合計 16 分，全部須作答。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 15 | 設 f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1，求 f 的局部極大值與局部極小值。 | 答案：f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3)，駐點為 x = 1 與 x = 3。f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5，f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1。故局部極大值為 5、局部極小值為 1。（評分：求導 2 分、駐點 2 分、兩個極值各 1 分） |
| 16 | 一個長方形的周界為 40 cm，求它的最大面積。 | 答案：設長為 x，則闊為 20 − x，面積 A = x(20 − x) = 20x − x²。A′ = 20 − 2x，令 A′ = 0 得 x = 10；A″ = −2 少於 0，故為極大。最大面積 = 10×10 = 100 cm²。（評分：面積函數 2 分、求導與駐點 2 分、判別與結果 1 分） |
| 17 | 承 (a)，用二階導數判別法說明 x = 1 與 x = 3 分別為極大點還是極小點。 | 答案：f″(x) = 6x − 12。f″(1) = −6，少於 0，故 x = 1 為極大點；f″(3) = 6，大於 0，故 x = 3 為極小點。（評分：二階導數 2 分、兩次判別共 3 分） |
己部 積分與面積
本部分共 4 題，合計 16 分，全部須作答。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 18 | 求定積分 ∫(0 至 2) (3x² + 2x) dx。 | 答案：原函數為 x³ + x²，代入上下限得 (2³ + 2²) − (0 + 0) = 8 + 4 = 12。（評分：原函數 3 分、代入計算 2 分） |
| 19 | 求定積分 ∫(1 至 4) x^(−1/2) dx。 | 答案：x^(−1/2) 的原函數為 2x^(1/2)，即 2√x；代入得 2×2 − 2×1 = 4 − 2 = 2。（評分：原函數 2 分、數值 1 分） |
| 20 | 求曲線 y = 4 − x² 與 x 軸所圍成的區域面積。 | 答案：令 4 − x² = 0 得 x = ±2。面積 = ∫(−2 至 2) (4 − x²) dx = [4x − x³/3] 由 −2 到 2 = (8 − 8/3) − (−8 + 8/3) = 32/3，約為 10.67。（評分：交點 1 分、積分式 1 分、計算 2 分） |
| 21 | 求不定積分 ∫ x e^(x²) dx。 | 答案：令 u = x²，則 du = 2x dx，故 ∫ x e^(x²) dx = (1/2)∫ e^u du = (1/2)e^(x²) + C。（評分：代換 2 分、原函數 1 分、常數 C 1 分） |
TutorZone 練習卷｜題目與文章為原創，並非任何學校或出版社的教材。