中五數學練習卷：指數與對數（12 題・100 分・75 分鐘・附答案）｜原創模擬試題

練習卷 · DSE 數學：指數與對數全卷

本卷共 12 題、100 分、75 分鐘，涵蓋指數定律、指數方程、對數定律與對數方程的解法，並加入細菌增長、放射性衰減與對數直線圖三類應用題。每題附完整步驟與評分要點，適合中五學生於校內試前作全卷計時練習。

卷面資料　年級：中四（S5）　｜　科目：數學　｜　時限：75 分鐘　｜　總分：100 分　｜　題數：12

考生須知：本卷分甲、乙、丙三部，全部題目均須作答，總分 100 分，時限 75 分鐘。

作答指數與對數方程時須寫出所用定律；解對數方程後必須檢查真數為正數，並捨去不合的根。

除特別指明外，數值答案須準確至三位有效數字。

建議先用約 35 分鐘完成甲部，再用 25 分鐘處理乙部，最後 15 分鐘覆核丙部的應用題。

甲部：指數定律與指數方程

化簡、求值與指數方程

#	題目	答案與評分要點
1	化簡 (a) (2x³)² × 3x⁻⁴ ÷ 6x²；(b) 求 27^(2/3) + 16^(−1/2) 的值，並寫出所用的指數定律。	（a）(2x³)² = 4x⁶（2 分），乘以 3x⁻⁴ 得 12x²（2 分），再除以 6x² 得 2（1 分）。（b）27^(2/3) = 9（2 分），16^(−1/2) = 1/4，合計 37/4，即 9.25（1 分）。
2	解指數方程 3^(2x−1) = 27^(x−2)。	（a）把 27 寫成 3³，右邊化為 3^(3x−6)（4 分）。（b）比較指數得 2x − 1 = 3x − 6，解得 x = 5（4 分）。
3	已知 log₂ 3 = 1.585，求 (a) log₂ 48；(b) log₂ 0.75，答案準確至三位小數。	（a）48 = 16 × 3，故 log₂ 48 = 4 + 1.585 = 5.585（4 分）。（b）0.75 = 3 ÷ 4，故 log₂ 0.75 = 1.585 − 2 = −0.415（4 分）。
4	解對數方程 log₂ (x + 3) + log₂ (x − 3) = 4。	（a）合併對數得 log₂ (x² − 9) = 4（3 分）。（b）即 x² − 9 = 16，x² = 25，得 x = 5 或 x = −5（3 分）。（c）真數須為正數，故 x = 5，−5 捨去（3 分）。

求值、化簡與解對數方程

#	題目	答案與評分要點
5	某細菌種群的數量為 N = 500 × 2^(t/3)，t 以小時計。(a) 求 t = 9 時的數量；(b) 求數量增至 16000 所需的時間。	（a）N = 500 × 2³ = 4000（4 分）。（b）2^(t/3) = 16000 ÷ 500 = 32 = 2⁵（2 分），故 t/3 = 5，t = 15 小時（2 分）。
6	不用計算機，求 (a) log₅ 125 + log₄ (1/16)；(b) log₇ 49³ 的值。	（a）log₅ 125 = 3（2 分），log₄ (1/16) = −2（1 分），合計 1（1 分）。（b）log₇ 49³ = 3 × log₇ 49 = 3 × 2 = 6（4 分）。
7	已知 log 2 = 0.3010、log 3 = 0.4771（以 10 為底），求 (a) log 12；(b) log 0.15。	（a）log 12 = 2 log 2 + log 3 = 0.6020 + 0.4771 = 1.0791（4 分）。（b）0.15 = 3 ÷ 20，故 log 0.15 = 0.4771 − 1.3010 = −0.8239（4 分）。
8	化簡 (a) logₐ 8 ÷ logₐ 2；(b) logₐ a³，其中 a 為正數且 a ≠ 1。	（a）logₐ 8 = 3 logₐ 2，故商為 3（4 分）。（b）logₐ a³ = 3 logₐ a = 3（4 分）。

增長、衰減與對數直線圖

#	題目	答案與評分要點
9	解方程 log (x − 1) + log (x + 2) = 1（以 10 為底）。	（a）合併得 log[(x − 1)(x + 2)] = 1（3 分）。（b）即 (x − 1)(x + 2) = 10，整理成 x² + x − 12 = 0（3 分）。（c）解得 x = 3 或 x = −4；因真數須為正數，故 x = 3（3 分）。
10	解方程 4^x − 5 × 2^x + 4 = 0。	（a）設 u = 2^x，方程變為 u² − 5u + 4 = 0（3 分）。（b）(u − 1)(u − 4) = 0，得 u = 1 或 u = 4（3 分）。（c）2^x = 1 得 x = 0；2^x = 4 得 x = 2（2 分）。
11	某放射性物質的質量為 m = 80 × (1/2)^(t/5) 克，t 以年計。(a) 求 t = 10 時的質量；(b) 求質量降至 10 克所需的年數。	（a）m = 80 × (1/2)² = 20 克（4 分）。（b）(1/2)^(t/5) = 10 ÷ 80 = 1/8 = (1/2)³（3 分），故 t/5 = 3，t = 15 年（2 分）。
12	已知 log y = 2 log x + log 3，其中 x 為正數。(a) 求 y 與 x 的關係式；(b) 求 x = 10 時 y 的值。	（a）log y = log x² + log 3 = log(3x²)（4 分），故 y = 3x²。（b）當 x = 10，y = 3 × 10² = 300（3 分），並說明 y 隨 x 增大而增大（2 分）。

TutorZone 練習卷｜題目與文章為原創，並非任何學校或出版社的教材。