中五數學練習卷：概率、隨機變量與統計分佈（100 分）

2026-11-11

練習卷 · 中五數學 · 概率與統計

中五數學練習卷：全卷 6 題 24 部分、100 分、75 分鐘。內容涵蓋條件概率與列聯表、獨立事件與加法法則、離散隨機變量的期望值與方差、正態分佈的標準化與查表、二項分佈的期望與概率，以及標準差、變異系數與數據變換。每題附完整步驟與評分要點，適合校內測驗及 DSE 數學科操卷。

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卷面資料　年級：中五　｜　科目：數學　｜　時限：75 分鐘　｜　總分：100 分　｜　題數：24

第一題　條件概率與列聯表

某校 200 名中五學生中，120 人有參加補習，其餘 80 人沒有參加。有補習的學生之中 90 人及格，沒有補習的學生之中 45 人及格。

#	題目	答案與評分要點
1	求隨機抽出一名學生而該生及格的概率。	答案：及格人數 = 90 + 45 = 135，概率 = 135 ÷ 200 = 0.675。
2	已知該生及格，求該生有參加補習的概率。	答案：P(有補習 \| 及格) = 90 ÷ 135 = 2/3 ≈ 0.667。
3	分別求有補習與沒有補習的學生及格的概率，並比較兩者。	答案：有補習者 90 ÷ 120 = 0.75；沒有補習者 45 ÷ 80 = 0.5625。前者高出 0.1875，即 18.75 個百分點。
4	說明本題的數據能否證明補習導致及格率上升。	答案：不能。本題只是觀察數據，沒有隨機分組，學生的基礎、動機與家庭支援等變數可能同時影響補習與成績，故只可說兩者有關聯，不能斷定因果。

第二題　獨立事件與加法法則

某校中五學生選修延伸單元二（M2）的概率為 0.6，選修物理的概率為 0.5。已知兩項選擇互相獨立。

#	題目	答案與評分要點
5	求一名學生同時選修 M2 與物理的概率。	答案：P(M2 且物理) = 0.6 × 0.5 = 0.30。
6	求一名學生至少選修其中一科的概率。	答案：P(至少一科) = 0.6 + 0.5 − 0.30 = 0.80。
7	求一名學生兩科都沒有選修的概率。	答案：P(兩科皆無) = (1 − 0.6)(1 − 0.5) = 0.4 × 0.5 = 0.20，與 1 − 0.80 一致。
8	求一名學生只選修其中一科的概率。	答案：只選 M2 為 0.6 × 0.5 = 0.30，只選物理為 0.4 × 0.5 = 0.20，合計 0.50。

第三題　離散隨機變量的期望值與方差

某店每日售出某款筆記本的數量 X 的概率分佈如下：P(X = 0) = 0.1、P(X = 1) = 0.3、P(X = 2) = 0.4、P(X = 3) = 0.2。每本售價 40 元，該店每日固定成本 20 元。

#	題目	答案與評分要點
9	求 E(X)。	答案：E(X) = 0×0.1 + 1×0.3 + 2×0.4 + 3×0.2 = 0 + 0.3 + 0.8 + 0.6 = 1.7 本。
10	求 Var(X)。	答案：E(X²) = 0 + 0.3 + 4×0.4 + 9×0.2 = 0.3 + 1.6 + 1.8 = 3.7；Var(X) = 3.7 − 1.7² = 3.7 − 2.89 = 0.81。
11	求 X 的標準差。	答案：標準差 = 根號 0.81 = 0.9 本。
12	求每日利潤的期望值。	答案：利潤 = 40X − 20，故 E(利潤) = 40 × 1.7 − 20 = 68 − 20 = 48 元。

第四題　正態分佈與標準化

某科成績服從正態分佈，平均值 62 分，標準差 8 分。已知 P(Z 小於 1) = 0.8413、P(Z 小於 2) = 0.9772、P(Z 小於 −1) = 0.1587。

#	題目	答案與評分要點
13	求成績低於 70 分的概率。	答案：z = (70 − 62) ÷ 8 = 1，概率 = 0.8413，即 84.13%。
14	求成績高於 78 分的概率。	答案：z = (78 − 62) ÷ 8 = 2，概率 = 1 − 0.9772 = 0.0228，即 2.28%。
15	求成績介乎 54 分與 70 分之間的概率。	答案：z 分別為 −1 與 1，概率 = 0.8413 − 0.1587 = 0.6826，即 68.26%。
16	若有 500 名考生，估計有多少人成績高於 78 分。	答案：500 × 0.0228 = 11.4，即約 11 人。

第五題　二項分佈

某選擇題測驗每題有四項選擇，只有一項正確。一名學生完全靠猜答，共答 8 題。設 X 為答對題數。

#	題目	答案與評分要點
17	寫出 X 的分佈並求 E(X)。	答案：X 服從二項分佈 B(8, 0.25)，E(X) = 8 × 0.25 = 2 題。
18	求 X 的方差與標準差。	答案：Var(X) = 8 × 0.25 × 0.75 = 1.5；標準差 = 根號 1.5 ≈ 1.22 題。
19	求全部答錯的概率。	答案：P(X = 0) = 0.75 的 8 次方 ≈ 0.1001，即 10.01%。
20	求至少答對一題的概率。	答案：P(X 大於或等於 1) = 1 − 0.1001 = 0.8999，即 89.99%。

第六題　標準差、變異系數與數據變換

甲班 30 人數學平均分 62，標準差 9；乙班 30 人數學平均分 68，標準差 5。

#	題目	答案與評分要點
21	分別計算兩班的變異系數，並判斷哪一班成績較分散。	答案：甲班 9 ÷ 62 × 100% ≈ 14.52%，乙班 5 ÷ 68 × 100% ≈ 7.35%。甲班較大，故甲班成績相對較分散。
22	解釋為何比較兩班分散程度時要同時用標準差與平均值。	答案：標準差有單位且受平均值大小影響，平均分相差 6 分時直接比標準差會誤導；變異系數把標準差化成平均值的百分比，去除尺度影響，才可公平比較。
23	若甲班每人加 5 分，求新的平均值與標準差。	答案：平均值變為 62 + 5 = 67，標準差仍為 9，因為整體平移不改變各人分數之間的差距。
24	若改為每人分數乘 1.1，求新的平均值與標準差。	答案：平均值 = 62 × 1.1 = 68.2，標準差 = 9 × 1.1 = 9.9。

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