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中五數學練習卷：指數對數、數列、二次方程、概率與統計（100 分）
練習卷 · 中五數學 · 數列與概率統計
中五數學練習卷，共六題，涵蓋指數律與對數方程、等比與等差數列的項與和、二次方程的判別式與配方求頂點、不放回抽球的概率與條件概率、平均數中位數標準差及整體平移的影響，並以儲蓄計劃綜合應用數列，全部附完整答案及評分要點，適合校內試與 DSE 備考。
卷面資料 年級：中五 ｜ 科目：數學 ｜ 時限：75 分鐘 ｜ 總分：100 分 ｜ 題數：24
第 1 題 指數與對數（18 分）
本題所有答案須顯示步驟，取近似值者準確至三位有效數字。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | (a) 化簡 (2^3 × 2^-5) ÷ 2^-4。 | 答案：指數相加得 2^(3 − 5 + 4) = 2^2 = 4。 |
| 2 | (b) 解方程 log₂ x + log₂ (x − 2) = 3。 | 答案：合併得 log₂ [x(x − 2)] = 3，即 x(x − 2) = 8，化為 x² − 2x − 8 = 0，得 x = 4 或 x = −2；因真數須為正，故 x = 4。 |
| 3 | (c) 解方程 3^(2x) − 10 × 3^x + 9 = 0。 | 答案：令 y = 3^x，得 y² − 10y + 9 = 0，故 y = 1 或 y = 9，即 3^x = 1 或 3^x = 9，所以 x = 0 或 x = 2。 |
| 4 | (d) 用換底公式求 log₄ 8 的值。 | 答案：log₄ 8 = log 8 ÷ log 4 = 1.5。 |
第 2 題 等比數列（17 分）
某等比數列的首項為 5，公比為 3。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 5 | (a) 求該數列的第 6 項。 | 答案：T₆ = ar⁵ = 5 × 3^5 = 1215。 |
| 6 | (b) 求首 6 項之和。 | 答案：S₆ = a(r⁶ − 1)/(r − 1) = 5 × 728 ÷ 2 = 1820。 |
| 7 | (c) 若另一等比數列首項為 5、公比為 1/3，求其無限項之和。 | 答案：因 |r| 小於 1，S∞ = a/(1 − r) = 5 ÷ (2/3) = 7.5。 |
| 8 | (d) 判斷 405 是否為本題數列的項，若是，指出是第幾項。 | 答案：解 5 × 3^n = 405，得 3^n = 81，n = 4，所以 405 是第 5 項。 |
第 3 題 二次方程與二次函數（16 分）
各小題獨立作答。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 9 | (a) 若方程 x² + kx + 9 = 0 有重根，求 k 的正值。 | 答案：判別式 k² − 36 = 0，得 k = ±6，取正值 k = 6。 |
| 10 | (b) 解方程 2x² − 7x + 3 = 0。 | 答案：判別式 = 49 − 24 = 25，x = (7 ± 5) ÷ 4，得 x = 3 或 x = 0.5。 |
| 11 | (c) 求 y = x² − 6x + 5 的頂點坐標及對稱軸。 | 答案：配方得 y = (x − 3)² -4，頂點為 (3, -4)，對稱軸為 x = 3。 |
| 12 | (d) 兩數之和為 14、之積為 45，求該兩數。 | 答案：兩數為 t² − 14t + 45 = 0 的根，判別式 = 16，故兩數為 9 和 5。 |
第 4 題 概率（17 分）
袋中有 4 個紅球、3 個藍球及 5 個綠球，共 12 個球，除顏色外完全相同。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 13 | (a) 隨機抽出一個球，求抽出紅球的概率。 | 答案：P = 4/12 = 1/3 ≈ 0.3333。 |
| 14 | (b) 不放回接連抽出兩個球，求兩個都是紅球的概率。 | 答案：P = (4/12) × (3/11) = 1/11 ≈ 0.0909。 |
| 15 | (c) 不放回抽出兩個球，求至少有一個綠球的概率。 | 答案：P(沒有綠球) = (7/12) × (6/11)，故 P(至少一個綠球) = 1 − 42/132 = 15/22 ≈ 0.6818。 |
| 16 | (d) 已知第一個抽出的球是紅球，求第二個是藍球的概率。 | 答案：袋中餘 11 個球，其中 3 個藍球，P = 3/11 ≈ 0.2727。 |
第 5 題 統計（16 分）
五名學生的測驗分數為 4、7、7、9 及 13。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 17 | (a) 求平均數。 | 答案：總和 = 40，平均數 = 40 ÷ 5 = 8。 |
| 18 | (b) 求中位數。 | 答案：由小至大排列後中間的數為 7。 |
| 19 | (c) 求標準差，準確至三位有效數字。 | 答案：離差平方和 = 44，方差 = 44 ÷ 5 = 8.8，標準差 = 2.9665。 |
| 20 | (d) 若每名學生的分數都增加 3 分，寫出新平均數及新標準差。 | 答案：新平均數 = 11，標準差不受整體平移影響，仍為 2.9665。 |
第 6 題 等差數列與儲蓄計劃（16 分）
志明第一個月存入 $500，之後每個月都比上一月多存 $80。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 21 | (a) 求第 12 個月的存款額。 | 答案：T₁₂ = 500 + 11 × 80 = $1380。 |
| 22 | (b) 求首 12 個月的存款總額。 | 答案：S₁₂ = 12 × (500 + 1380) ÷ 2 = $11280。 |
| 23 | (c) 若他要累積 $20000，求最少需要多少個月。 | 答案：Sₙ = n(2 × 500 + (n − 1) × 80) ÷ 2；n = 17 時為 $19380，n = 18 時為 $21240，故最少 18 個月。 |
| 24 | (d) 說明為何等差數列模型不適合預測十年後的存款。 | 答案：模型假設每月增幅永久固定，實際收入與開支會變動，長期推算會高估或低估，故不宜作長期預測。 |
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