中六物理練習卷：萬有引力與衛星運動（12 題・100 分・75 分鐘）

2026-11-09

練習卷 · DSE 物理：萬有引力與衛星運動全卷

中六物理練習卷，全卷 12 題共 100 分、限時 75 分鐘，涵蓋萬有引力定律、重力場、圓軌道速率與週期、地球同步衛星、軌道轉移的能量、雙星系統、由衛星數據推算行星質量，以及逃逸速度與失重現象，附完整答案及評分要點。

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卷面資料　年級：中六（S6）　｜　科目：物理　｜　時限：75 分鐘　｜　總分：100 分　｜　題數：12

考生須知：本卷分甲、乙、丙三部，全部題目均須作答，總分 100 分，時限 75 分鐘。

作答時須寫出所用公式、代入的數值及單位，並以三位有效數字表示數值答案。

解釋題須指出所依據的物理定律，例如萬有引力定律或能量守恆。

建議用 20 分鐘完成甲部，30 分鐘處理乙部，最後 25 分鐘覆核丙部及檢查單位。

甲部（多項短答，29 分）

全部題目均須作答，須列出所用公式及代入的數值。

#	題目	答案與評分要點
1	地球質量 5.97 × 10²⁴ kg、半徑 6.37 × 10⁶ m，重力常數 G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²。(a) 求地球表面重力加速度 g₀。(b) 求距地面 1.0 × 10⁷ m 處的重力加速度。(c) 求 g₀ 與 (b) 之比。	(a) g₀ = GM/R² = (6.67×10⁻¹¹)(5.97×10²⁴)/(6.37×10⁶)² = 9.81 m s⁻²（2 分） (b) r = R + h = 1.637 × 10⁷ m，g = GM/r² = 1.49 m s⁻²（2 分） (c) 比值 = 9.81/1.49 = 6.60（2 分）評分要點：必須用 r = R + h；只代 R 得 1 分。
2	月球繞地球運行的軌道半徑約 3.84 × 10⁸ m。(a) 以圓周運動模型求月球的公轉週期（以日為單位）。(b) 說明為何月球不會掉到地球上。(c) 若月球質量加倍而軌道半徑不變，週期會否改變？解釋。	(a) GMm/r² = m(4π²r/T²) ⇒ T = 2π√(r³/GM) = 2369336 s = 27.4 日（3 分） (b) 月球有足夠切向速度，其「下落」量剛好等於地球表面彎曲的程度，故一直繞行（2 分） (c) 週期不變（1 分）：T 只取決於中心天體質量與軌道半徑，與衛星自身質量無關（1 分）
3	一枚人造衛星在離地 400 km 的圓軌道運行，地球半徑取 6.37 × 10⁶ m。(a) 求其軌道半徑。(b) 求其速率。(c) 求其週期（以分鐘為單位）。(d) 若衛星質量加倍，速率如何改變？	(a) r = 6.37×10⁶ + 4.0×10⁵ = 6.77 × 10⁶ m（1 分） (b) v = √(GM/r) = 7669 m s⁻¹（3 分） (c) T = 2πr/v = 5546 s = 92.4 分鐘（3 分） (d) 不變（1 分）：m 在方程兩邊相消。
4	(a) 由能量守恆推導地球表面的逃逸速度 v = √(2GM/R)。(b) 代入數據求數值（km s⁻¹）。(c) 解釋為何逃逸速度與拋體質量無關。	(a) ½mv² − GMm/R = 0（1 分）⇒ v = √(2GM/R)（2 分） (b) v = √(2(6.67×10⁻¹¹)(5.97×10²⁴)/6.37×10⁶) = 11181 m s⁻¹ = 11.18 km s⁻¹（3 分） (c) 動能與位能都正比於 m，m 在能量方程中相消，故與質量無關（2 分）評分要點：只寫答案無推導最多 4 分。

乙部（計算與解釋，33 分）

重力常數 G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²，地球質量 5.97 × 10²⁴ kg，地球半徑 6.37 × 10⁶ m。

#	題目	答案與評分要點
5	火星質量 6.42 × 10²³ kg、半徑 3.39 × 10⁶ m。(a) 求火星表面重力加速度。(b) 比較火星與地球表面的 g 值，並解釋差異的兩個原因。(c) 一個在地球重 600 N 的儀器在火星表面重多少？	(a) g = GM/R² = (6.67×10⁻¹¹)(6.42×10²³)/(3.39×10⁶)² = 3.73 m s⁻²（3 分） (b) 火星 g 較小（1 分）：火星質量約為地球的 0.107 倍，而半徑約為 0.532 倍；g ∝ M/R²，質量因素影響較大（2 分） (c) 質量 = 600/9.81 = 61.2 kg，火星上重量 = 61.2 × 3.73 = 228 N（2 分）
6	地球同步衛星的週期等於地球自轉週期 86 164 s。(a) 求其軌道半徑。(b) 求其離地高度。(c) 說明為何同步衛星必須位於赤道上方。	(a) r = (GMT²/4π²)^(1/3) = 4.21 × 10⁷ m（3 分） (b) 高度 = r − R = 3.58 × 10⁷ m ≈ 3.58 × 10⁷ m（2 分） (c) 只有赤道平面上的軌道，衛星的向心加速度才與地心引力方向共線；否則引力有指向赤道方向的分量，軌道會漂移（3 分）評分要點：(c) 只答「要對準地面」不給分。
7	質量 1200 kg 的衛星由 400 km 圓軌道轉移到地球同步軌道（半徑 4.22 × 10⁷ m）。(a) 寫出圓軌道總機械能的表達式。(b) 求每千克所需的能量。(c) 求該衛星所需的總能量。(d) 這些能量從何而來？	(a) E = −GMm/2r（2 分） (b) ΔE/m = (GM/2)(1/r₁ − 1/r₂) = 2.47 × 10⁷ J kg⁻¹（3 分） (c) ΔE = 1200 × 2.47×10⁷ = 2.96 × 10¹⁰ J（2 分） (d) 由星上推進器燃燒化學燃料提供，能量來自燃料的化學能（2 分）評分要點：(a) 漏負號不扣分；用 GMm(1/r₁ − 1/r₂) 當成總能量扣 1 分。
8	雙星系統由兩顆質量均為 1.5 M☉（M☉ = 1.99 × 10³⁰ kg）的恒星組成，兩星相距 2.0 × 10¹¹ m，繞共同質心作圓周運動。(a) 求每顆星的軌道半徑。(b) 求其速率。(c) 求公轉週期（以日為單位）。(d) 若兩星質量不同，質心位置如何改變？	(a) 每顆星軌道半徑 = a/2 = 1.0 × 10¹¹ m（2 分） (b) Gm²/a² = mv²/(a/2) ⇒ v = √(Gm/2a) = 2.23 × 10⁴ m s⁻¹（3 分） (c) T = 2π(a/2)/v = 28169811 s = 326 日（3 分） (d) 質心靠近質量較大的一方，兩星軌道半徑之比等於質量之反比（1 分）

丙部（綜合與應用，38 分）

數值答案須準確至三位有效數字；解釋題須指出所依據的物理定律。

#	題目	答案與評分要點
9	下表為某行星一顆衛星的觀測數據：軌道半徑 r = 7.00 × 10⁶ m，週期 T = 5.82 × 10³ s。(a) 由 r 與 T 求行星質量。(b) 寫出所用的公式並說明為何不需要衛星質量。(c) 若測得的 T 偏小 2%，對質量的計算有何影響？	(a) GM = 4π²r³/T² = 3.98 × 10¹⁴ m³ s⁻² ⇒ M = 5.99 × 10²⁴ kg（3 分） (b) 公式 T² = 4π²r³/(GM)（1 分）；衛星質量在方程兩邊相消，只充當「探測器」（2 分） (c) T 偏小 2% ⇒ T² 偏小約 4% ⇒ 算出的 M 偏大 4%（3 分）評分要點：(c) 只寫「偏大」不給分，要有 4% 這個量。
10	地球自轉週期 86 164 s。(a) 求赤道處因自轉所需的向心加速度。(b) 求赤道處的有效 g 值。(c) 解釋為何赤道處的 g 比極地小。(d) 在軌道上的太空人為何感到「失重」？	(a) a = ω²R = (2π/86164)²(6.37×10⁶) = 0.034 m s⁻²（3 分） (b) g_eff = 9.81 − 0.034 = 9.78 m s⁻²（2 分） (c) 赤道處自轉半徑最大、向心加速度最大，且地球為扁球體使極地半徑較小、g ∝ 1/R² 較大（2 分） (d) 太空人與太空船同以重力加速度自由下落，座椅對人無支持力，視重為零（2 分）
11	一枚衛星在 400 km 圓軌道（v = 7.67 km s⁻¹）運行，現要脫離地球引力。(a) 求該高度的逃逸速度。(b) 求所需的速度增量。(c) 為何不在地面一次過加速到 11.2 km s⁻¹ 更省能量？以能量角度解釋。	(a) v_esc = √2 × v = 1.414 × 7.67 = 10.85 km s⁻¹（3 分） (b) Δv = 10.85 − 7.67 = 3.18 km s⁻¹（3 分） (c) 在地面加速要同時克服整段引力位能，且大氣阻力大；先在軌道加速只需補足由該處逃逸的位能差，能量需求較小（4 分）評分要點：(c) 必須提及大氣阻力或位能差其一，兩者齊全給滿分。
12	某行星表面 g = 3.73 m s⁻²，半徑 3.39 × 10⁶ m。(a) 求其平均密度。(b) 若某天體半徑相同但密度加倍，表面 g 如何改變？(c) 一個單擺在該行星上的週期與在地球上相比如何？(d) 提出一個由觀測驗證密度的可行方法。	(a) g = GM/R² ⇒ M = gR²/G；ρ = M/(4πR³/3) = 3g/(4πGR) = 3934 kg m⁻³（4 分） (b) ρ 加倍 ⇒ M 加倍 ⇒ g 加倍 = 7.45 m s⁻²（2 分） (c) T = 2π√(L/g)，g 較小 ⇒ 週期較長，比值 √(9.81/3.73) = 1.62 倍（2 分） (d) 發射探測器測量環繞該行星的衛星軌道半徑與週期，由 T² = 4π²r³/(GM) 求 M，再配合半徑求密度（2 分）

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