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IB 數學：微積分與導數 — 練習第一份（10 題）
IB 數學：微積分與導數 — 練習第一份（10 題）
第一份由多項式求導開始：冪法則、常數項、負指數與根式的寫法，再練切線斜率、鏈式法則、首原理與駐點的極大極小判別，十題附答案與解說。
快速答案 十題約二十五分鐘。第 01 至 04 題練冪法則與負指數；第 05 至 07 題練駐點方程、切線斜率與鏈式法則；第 08、09 題是首原理與二階導數判別；第 10 題重練漏減一次方的錯法。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 題 |
| 建議時間 | 25 分鐘 |
| 難度分佈 | 基礎 4 · 進階 3 · 挑戰 2 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：IB 數學：微積分與導數 備課指引 |
| 適用年級 | IB SL |
02 題目（10 題）
- 基礎已知 f(x) = x³，求 f′(x)。
- 基礎已知 f(x) = 4x² − 3x + 7，求 f′(x) 及 f′(2)。
- 基礎已知 f(x) = 5x⁴，求 f′(2)。
- 基礎已知 y = 1/x（x ≠ 0），求 dy/dx。
- 進階已知 f(x) = x³ − 12x，解 f′(x) = 0。
- 進階曲線 y = 3x² + 2x 在 x = 1 的切線斜率與切線方程。
- 進階已知 f(x) = (2x + 1)³，求 f′(x) 及 f′(1)。
- 挑戰用導數定義（首原理）證明 f(x) = x² 的導數是 2x，並求 f′(3)。
- 挑戰y = x³ − 3x² + 4，求兩個駐點並判斷極大或極小。
- 錯題重練學生把 f(x) = x³ 的導數寫成 3x。正確的 f′(x) 及 f′(2) 是甚麼？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | f′(x) = 3x² | 把指數乘落前面、指數減一：3x²。 |
| 2 | f′(x) = 8x − 3；f′(2) = 13 | 常數項求導為 0，所以 7 消失：8x − 3，代入 2 得 13。 |
| 3 | f′(x) = 20x³；f′(2) = 160 | 先求導得 20x³，再代入 2：20 × 8 = 160。 |
| 4 | dy/dx = −1/x² | 寫成 x⁻¹ 再求導：−1 × x⁻²，即 −1/x²。 |
| 5 | x = 2 或 x = −2 | f′(x) = 3x² − 12 = 0 得 x² = 4，所以 x = ±2。 |
| 6 | 斜率 8；切線 y = 8x − 3 | y′ = 6x + 2 在 1 得 8；點 (1, 5)，用點斜式得 y = 8x − 3。 |
| 7 | f′(x) = 6(2x + 1)²；f′(1) = 54 | 鏈式法則：3(2x + 1)² × 2 = 6(2x + 1)²，代入 1 得 54。 |
| 8 | f′(x) = 2x；f′(3) = 6 | [ (x + h)² − x² ] ÷ h = 2x + h，令 h 趨向 0 得 2x。 |
| 9 | x = 0 為極大（y = 4）；x = 2 為極小（y = 0） | y′ = 3x² − 6x = 3x(x − 2)，二階導數 y″ = 6x − 6 判別：x = 0 為負（極大）、x = 2 為正（極小）。 |
| 10 | f′(x) = 3x²；f′(2) = 12 | 錯在漏減一次方：指數要由 3 減至 2，所以是 3x²，代入 2 得 12 而不是 6。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。
