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IB 數學：微積分與導數 — 練習第二份（10 題）
IB 數學：微積分與導數 — 練習第二份（10 題）
第二份集中求導技巧：積法則、商法則、鏈式法則與根式改寫，再練切線與法線、二階導數判別駐點與拐點，十題附答案與解說。
快速答案 十題約二十五分鐘。第 01 至 04 題練多項式、根式、積法則與切線斜率；第 05 至 07 題練商法則、鏈式法則與指數函數；第 08、09 題是駐點拐點與法線；第 10 題重練漏乘內層導數的錯法。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 題 |
| 建議時間 | 25 分鐘 |
| 難度分佈 | 基礎 4 · 進階 3 · 挑戰 2 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：IB 數學：微積分與導數 備課指引 |
| 適用年級 | IB SL |
02 題目（10 題）
- 基礎已知 f(x) = 6x⁵ − 2x³，求 f′(x) 及 f′(1)。
- 基礎已知 y = √x（x 大於 0），求 dy/dx 及在 x = 4 的值。
- 基礎已知 f(x) = (x² + 1)(x − 3)，用積法則求 f′(x) 及 f′(2)。
- 基礎已知 f(x) = 2x³，求在 x = −1 的切線斜率。
- 進階已知 y = (3x + 2)/(x − 1)（x ≠ 1），用商法則求 dy/dx。
- 進階已知 y = (2x − 5)⁴，求 dy/dx 及在 x = 3 的值。
- 進階已知 y = e^(3x)，求 dy/dx 及在 x = 0 的值。
- 挑戰y = x³ − 6x² + 9x，求駐點、拐點並判斷極大極小。
- 挑戰曲線 y = x² − 4x + 1 在 x = 3 的法線方程。
- 錯題重練學生求 y = (x² + 1)³ 的導數時寫成 3(x² + 1)²。正確的 dy/dx 及在 x = 1 的值是甚麼？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | f′(x) = 30x⁴ − 6x²；f′(1) = 24 | 逐項求導：30x⁴ − 6x²，代入 1 得 24。 |
| 2 | dy/dx = 1/(2√x)；在 4 得 1/4 | 寫成 x^(1/2)：½x^(−1/2) = 1/(2√x)，代入 4 得 1/4。 |
| 3 | f′(x) = 3x² − 6x + 1；f′(2) = 1 | 2x(x − 3) + (x² + 1) = 3x² − 6x + 1，與展開後求導結果相同。 |
| 4 | 斜率 6 | f′(x) = 6x²，代入 −1 得 6；平方令負號消失。 |
| 5 | dy/dx = −5/(x − 1)² | 分子 3(x − 1) − (3x + 2) = −5，所以導數恆為負，函數在兩段都遞減。 |
| 6 | dy/dx = 8(2x − 5)³；在 3 得 8 | 4(2x − 5)³ × 2 = 8(2x − 5)³；x = 3 時括號內為 1。 |
| 7 | dy/dx = 3e^(3x)；在 0 得 3 | 指數函數求導後乘上指數前面的 3，代入 0 得 3。 |
| 8 | x = 1 為極大（y = 4）、x = 3 為極小（y = 0）、拐點 (2, 2) | y′ = 3(x − 1)(x − 3)，y″ = 6x − 12 判別：1 為負（極大）、3 為正（極小），x = 2 時 y″ = 0。 |
| 9 | 法線 y = −x/2 − 1/2 | 切線斜率 2x − 4 = 2，法線斜率為 −1/2；點 (3, −2) 代入得 y = −x/2 − 1/2。 |
| 10 | dy/dx = 6x(x² + 1)²；在 1 得 24 | 錯在漏乘內層導數 2x：3(x² + 1)² × 2x = 6x(x² + 1)²，代入 1 得 24。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。
