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IB 數學：微積分與導數 — 練習第三份（10 題）
IB 數學：微積分與導數 — 練習第三份（10 題）
第三份是導數的應用：速率與加速度、閉區間的最大最小值、圓柱表面積與圍欄的優化，以及切線平行條件，十題附答案與解說。
快速答案 十題約二十五分鐘。第 01 至 04 題練求駐點、切線值以及位移求速度與加速度；第 05 至 07 題練閉區間最值、圓柱優化與平行切線；第 08、09 題是圍欄優化與平行條件；第 10 題重練只用一階導數判極值的錯法。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 題 |
| 建議時間 | 25 分鐘 |
| 難度分佈 | 基礎 4 · 進階 3 · 挑戰 2 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：IB 數學：微積分與導數 備課指引 |
| 適用年級 | IB SL |
02 題目（10 題）
- 基礎已知 f(x) = x⁴ − 32x，解 f′(x) = 0 並求該點的函數值。
- 基礎已知 y = 5 − 2x + x²，求在 x = 3 的導數值與函數值。
- 基礎位移 s(t) = t³ − 3t² + 2t（米），求 t = 2 秒時的速度。
- 基礎位移 s(t) = t³ − 6t² + 9t（米），求 t = 2 秒時的加速度。
- 進階求 f(x) = x³ − 3x² + 1 在閉區間 [0, 3] 的最大值與最小值。
- 進階密閉圓柱體積固定為 250π cm³，求表面積最小時的半徑與高。
- 進階求曲線 y = x³ − 3x 上切線斜率為 9 的所有點。
- 挑戰矩形農場一邊靠牆，其餘三邊用 40 m 圍欄，求最大面積及對應長闊。
- 挑戰求曲線 y = x² 上哪一點的切線與直線 y = 4x − 7 平行。
- 錯題重練學生求 f(x) = x³ − 3x 的極值，只解 f′(x) = 0 便答兩個都是極小。正確答案是甚麼？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | x = 2；f(2) = −48 | f′(x) = 4x³ − 32 = 0 得 x³ = 8，所以 x = 2，代入得 16 − 64 = −48。 |
| 2 | dy/dx = 4；y(3) = 8 | y′ = −2 + 2x 代入 3 得 4；函數值 5 − 6 + 9 = 8。 |
| 3 | v(2) = 2 m/s | 速度是位移的導數：v = 3t² − 6t + 2，代入 2 得 12 − 12 + 2 = 2。 |
| 4 | a(2) = 0 m/s² | v = 3t² − 12t + 9，a = v′ = 6t − 12，代入 2 得 0，該刻速度最小但仍在轉向。 |
| 5 | 最大值 1；最小值 −3 | 駐點 x = 0 與 x = 2 及端點 x = 3 一齊比較：1、−3、1，所以最大 1、最小 −3。 |
| 6 | r = 5 cm；h = 10 cm | h = 250/r²，S = 2πr² + 500π/r；S′ = 4πr − 500π/r² = 0 得 r³ = 125，r = 5、h = 10。 |
| 7 | (2, 2) 與 (−2, −2) | 3x² − 3 = 9 得 x² = 4，x = ±2；代入曲線得 y = 2 與 y = −2。 |
| 8 | 最大面積 200 m²；靠牆邊 20 m、另一邊 10 m | 設靠牆邊為 x：x + 2y = 40，A = x(40 − x)/2；A′ = 20 − x = 0 得 x = 20、y = 10。 |
| 9 | (2, 4) | 平行即斜率相同：2x = 4 得 x = 2，代入曲線得 y = 4。 |
| 10 | x = −1 為極大（f = 2）；x = 1 為極小（f = −2） | 要用二階導數 f″ = 6x 判別：x = −1 時為負（極大）、x = 1 時為正（極小）。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。
