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IB 數學：微積分與導數 — 練習第四份（10 題）
IB 數學：微積分與導數 — 練習第四份（10 題）
第四份是整章的綜合複習：冪法則、常數與多項式求導、駐點、二階導數、切線斜率、極值與圍欄優化，以及位移求速度與加速度，十題附答案與解說。
快速答案 十題約二十五分鐘。第 01 至 04 題練基本求導與常數；第 05 至 07 題練駐點、二階導數與切線斜率；第 08、09 題是極值與圍欄優化；第 10 題重練只答速度漏加速度的錯法。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 題 |
| 建議時間 | 25 分鐘 |
| 難度分佈 | 基礎 4 · 進階 3 · 挑戰 2 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：IB 數學：微積分與導數 備課指引 |
| 適用年級 | IB SL |
02 題目（10 題）
- 基礎已知 f(x) = x⁵，求 f′(x)。
- 基礎已知 f(x) = 7x³ − 2x，求 f′(x)。
- 基礎已知 f(x) = x² + 3x + 1，求 f′(1)。
- 基礎已知 f(x) = 6，求 f′(x)。
- 進階求 f(x) = x³ − 27x 的駐點。
- 進階f(x) = x⁴ − 8x²，求二階導數 f″(x)。
- 進階曲線 y = x² + 2x 在 x = 1 的切線斜率是多少？
- 挑戰f(x) = x³ − 6x² + 9x，求極大值與極小值。
- 挑戰用 60 m 圍欄靠牆圍一個矩形，只需圍三邊，求最大面積。
- 錯題重練s(t) = t³ − 3t（米），學生在 t = 2 只答了速度。速度與加速度各是多少？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | f′(x) = 5x⁴ | 指數 5 乘落前面，指數減一得 4。 |
| 2 | f′(x) = 21x² − 2 | 逐項求導：7x³ 得 21x²，−2x 得 −2。 |
| 3 | f′(1) = 5 | f′(x) = 2x + 3，代 x = 1 得 5。 |
| 4 | f′(x) = 0 | 常數的圖像水平，所以導數為零。 |
| 5 | x = 3 與 x = −3 | f′(x) = 3x² − 27 = 0，得 x² = 9，所以 x = ±3。 |
| 6 | f″(x) = 12x² − 16 | 先求 f′(x) = 4x³ − 16x，再求導得 12x² − 16。 |
| 7 | 斜率 4 | dy/dx = 2x + 2，代 x = 1 得 4。 |
| 8 | 極大值 4（x = 1）、極小值 0（x = 3） | f′(x) = 3(x − 1)(x − 3)，代入兩點得 4 與 0。 |
| 9 | 最大面積 450 m²（15 m × 30 m） | 設垂直牆的邊為 x：A = x(60 − 2x)，A′ = 60 − 4x = 0 得 x = 15。 |
| 10 | 速度 9 m/s、加速度 12 m/s² | v = 3t² − 3 = 9，a = 6t = 12；錯在只求一階導數。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。
