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IB 數學：概率與期望值（進階 10 題）
IB 數學：概率與期望值（進階 10 題）
進階卷集中期望值與獨立事件：以概率分佈表計 E(X)，用獨立性求交集與聯集，條件概率 P(A|B)，排列中的相鄰問題，以及二項分佈的組合計數。每題附答案與一句解說。
快速答案 答案依序：2.1、7、$15、0.7、9/25、0.3、1/3、3.5、5/16、0.5。獨立事件才可直接相乘，否則要先用條件概率。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 題 |
| 建議時間 | 約 35 分鐘 |
| 難度分佈 | 進階 10 |
| 對應章節 | 所屬章節：IB 數學：概率與期望值 |
| 適用年級 | IB |
02 題目（10 題）
- 進階隨機變量 X 取值 1、2、3，概率分別為 0.2、0.5、0.3，求 E(X)。
- 進階同時擲兩粒公平骰子，點數和 S 的期望值是多少？
- 進階某遊戲：贏 $50 的概率 0.2、贏 $10 的概率 0.5，其餘只得 $0，求期望獎金。
- 進階A 與 B 互相獨立，P(A) = 0.4、P(B) = 0.5，求 P(A ∪ B)。
- 進階袋有 3 紅 2 藍，每次抽後放回，連抽兩次都是紅的概率是多少？
- 進階已知 P(A ∩ B) = 0.15、P(B) = 0.5，求 P(A | B)。
- 進階六名學生隨機排成一列，指定其中兩人相鄰的概率是多少？
- 進階擲一粒公平骰子一次，點數的期望值是多少？
- 進階擲一枚公平硬幣 5 次，恰好出現 2 次正面的概率是多少？
- 進階X 只取值 3 和 7，且 E(X) = 5，求 P(X = 7)。
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | 2.1 | E(X) = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1。 |
| 2 | 7 | 每粒骰的期望值是 3.5，兩粒相加得 3.5 + 3.5 = 7。 |
| 3 | $15 | 50(0.2) + 10(0.5) + 0(0.3) = 10 + 5 = $15。 |
| 4 | 0.7 | 獨立時 P(A ∩ B) = 0.4 × 0.5 = 0.2，所以 P(A ∪ B) = 0.4 + 0.5 − 0.2 = 0.7。 |
| 5 | 9/25 | 每次紅的概率 3/5，兩次獨立相乘得 9/25 = 0.36。 |
| 6 | 0.3 | 條件概率公式：P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0.15 / 0.5 = 0.3。 |
| 7 | 1/3 | 把兩人綁成一組：2 × 5! = 240 個排法，除以 6! = 720，得 1/3。 |
| 8 | 3.5 | (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 21/6 = 3.5。 |
| 9 | 5/16 | C(5, 2) = 10 個組合，除以 2⁵ = 32，得 10/32 = 5/16。 |
| 10 | 0.5 | 設 P(X = 7) = p：3(1 − p) + 7p = 5，即 4p = 2，所以 p = 0.5。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。