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IB 數學：概率與期望值（挑戰 10 題）
IB 數學：概率與期望值（挑戰 10 題）
挑戰卷處理不放回抽樣、幾何概率、期望淨收益、二項分佈的標準差、E(X²) 與生日問題。十題全部要求寫出完整推理，其中多題要用餘事件的 1 減法或 Var(X) = E(X²) − [E(X)]²。
快速答案 答案依序：5/14、5/8、23/28、0.2826、−$4、E=6 且 SD≈2.05、0.6、329/6≈54.83、17/72≈0.236、選 B 多 $4。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 題 |
| 建議時間 | 約 45 分鐘 |
| 難度分佈 | 挑戰 10 |
| 對應章節 | 所屬章節：IB 數學：概率與期望值 |
| 適用年級 | IB |
02 題目（10 題）
- 挑戰袋有 5 紅 3 白，不放回連抽兩粒，兩粒都是紅的概率是多少？
- 挑戰同一袋（5 紅 3 白）不放回抽兩粒，第二粒是紅的概率是多少？
- 挑戰同一袋不放回連抽三粒，至少有一粒白的概率是多少？
- 挑戰在邊長 10 cm 的正方形內隨機取一點，落在半徑 3 cm 的圓內的概率是多少？（取 π = 3.14）
- 挑戰抽獎每次入場費 $8，中獎概率 1/50，獎金 $200，求每次的期望淨收益。
- 挑戰X ~ B(20, 0.3)，求 E(X) 與標準差（取 2 位小數）。
- 挑戰A 與 B 獨立，P(A) = 0.5、P(A ∪ B) = 0.8，求 P(B)。
- 挑戰X 為兩粒公平骰子的點數和，求 E(X²)。
- 挑戰隨機選 3 人，至少兩人同一月份出生的概率是多少？（假設 12 個月等可能）
- 挑戰方案 A 必得 $20；方案 B 有 0.3 概率得 $80、否則得 $0。按期望值應選哪個？相差多少？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | 5/14 | (5/8) × (4/7) = 20/56 = 5/14，第二粒的分母要減 1。 |
| 2 | 5/8 | 由對稱性，第二粒的邊際概率與第一粒相同，都是 5/8，不必分情況。 |
| 3 | 23/28 | 先求全紅：(5/8)(4/7)(3/6) = 5/28，再用 1 − 5/28 = 23/28。 |
| 4 | 0.2826 | 圓面積 9 × 3.14 = 28.26 cm²，除以正方形 100 cm² 得 0.2826。 |
| 5 | −$4 | 期望獎金 200 × 1/50 = $4，減去入場費 $8 得 −$4。 |
| 6 | E(X) = 6，SD ≈ 2.05 | E = np = 6，Var = np(1 − p) = 4.2，SD = √4.2 ≈ 2.05。 |
| 7 | 0.6 | 獨立時 0.5 + q − 0.5q = 0.8，即 0.5q = 0.3，所以 q = 0.6。 |
| 8 | 329/6 ≈ 54.83 | Var(X) = 2 × 35/12 = 35/6，E(X²) = Var + [E(X)]² = 35/6 + 49 = 329/6。 |
| 9 | 17/72 ≈ 0.236 | 全不同 = (12 × 11 × 10) / 12³ = 1320/1728，1 − 1320/1728 = 17/72。 |
| 10 | 選 B，期望多 $4 | B 的期望值 0.3 × 80 = $24，比 A 的 $20 多 $4。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。