中二數學｜直角坐標與變換備課指引（導師用）｜四象限符號、距離中點與三種變換

2026-11-08

坐標題失分很少是計錯，多數是符號錯：把第二象限的點寫成 (3, 2)，之後距離、反射、旋轉全部連錯。

本堂目標　學生能夠：① 由坐標說出象限並寫出該象限的符號組合；② 用距離與中點公式處理兩點問題；③ 寫出反射、90° 旋轉與平移之後的新坐標，並在 12 題診斷中答對 9 題。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
負數運算	−3＋5 是多少？−2 × −4 是多少？	2；8
平方與開方	6²＋8² 再開方	10
坐標讀法	點 (5, 2) 先讀哪一個數？	先讀 x，再讀 y

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–6 分	默寫四象限	畫一個十字，隨機報四個點，要求學生寫象限	寫象限並講符號
6–18 分	符號先於計算	板書四象限符號表，每象限舉一點	自己畫表並填符號
18–32 分	距離與中點	同一對點 (2, 3) 與 (8, 11) 一次示範兩條公式	兩條公式各算一次
32–46 分	三種變換	反射（x 軸改 y 符號）、90° 旋轉（換位再改號）、平移（加向量）	每種做兩題
46–56 分	12 題診斷	12 題混合四型，交回即批：9 題對、3 題錯	獨立完成
56–60 分	離場檢查	三題口頭問答，錯了記下要重教哪一段	口頭作答

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：先看符號，再看數字

坐標題的第一步永遠是符號：右上 (＋, ＋)、左上 (−, ＋)、左下 (−, −)、右下 (＋, −)。學生最常把 (−3, 2) 講成「第三象限」，其實它是第二象限。
教學動作：每次見到點，先用手比出它在十字的哪一格，再寫數字。這一秒的動作可以省掉後面所有連鎖錯誤。

要學生做：畫四象限表，寫出符號組合，並把 (−3, 2)、(4, −1)、(−2, −5) 各歸一格。

第二幕：一條線兩邊看：距離與中點

同一對點 (2, 3) 與 (8, 11)：橫向差 6、縱向差 8，距離就是 √(36＋64)＝10；中點就是把兩個坐標各取平均，(5, 7)。
要講清楚兩者的分別：距離用差值再開方，中點用平均值、不開方。若橫縱差剛好是 3-4、6-8 這類同族，答案一定是整數，可以立即自查。

要學生講：先講橫差與縱差，再講「距離要開方，中點不開方」。

第三幕：三種變換，三句口訣

反射：對 x 軸反射只改 y 的符號（2, 3 變 2, −3）；對 y 軸反射只改 x（−2, 3）；對原點就兩個都改（−2, −3）。
90° 旋轉：逆時針把 (x, y) 變 (−y, x)，順時針變 (y, −x)；例如 (3, 1) 逆時針是 (−1, 3)。
平移：照向量加，例如向量 (4, −2) 令 (2, 3) 變 (6, 1)。三種變換都可以用「先畫後算」驗證。

要學生做：把 (3, 1) 依序做逆時針 90° 兩次，講出最後坐標並解釋。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
象限判斷	(−3, 2)	先看 x 負、y 正	第二象限
距離	(2, 3) 與 (8, 11)	差 6 與 8，平方和開方	10
中點	(2, 3) 與 (8, 11)	各取平均	(5, 7)
變換	(3, 1) 逆時針 90°	把 (x, y) 換成 (−y, x)	(−1, 3)

合理性檢查（一定要教）：合理性檢查：中點一定要在兩點之間；距離一定是正數；反射後該坐標只改一個符號；90° 旋轉會令點的象限改變（(3, 1) 在第一象限，轉後到第二象限）；12 題對 9 題即 75%，不是 9%。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
象限四點	(−3, 2)、(4, −1)、(−2, −5)、(0, 5)	有無混淆軸上的點
距離兩題	(2, 3) 與 (8, 11)／(0, 0) 與 (3, 4)	有無開方
變換六題	反射 x／y／原點、旋轉順逆、平移	符號與換位次序

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
象限講錯	把 (−3, 2) 當第三象限	「x 負、y 正，係第二象限；第三象限兩個都係負。」
距離忘記開方	寫成 6²＋8²＝100，答案 100	「100 係平方，距離係 √100＝10。」
中點變成距離	(2, 3) 與 (8, 11) 寫成 (6, 8)	「(6, 8) 係差值；中點要取平均，(5, 7)。」
旋轉方向相反	(3, 1) 逆時針寫成 (1, −3)	「逆時針換位再改 x 的號：(−1, 3)；順時針才改 y 的號。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

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本章重做　診卷第 1 至 6 題重做，每題先寫象限再算

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
(−3, 2) 在哪個象限	第二象限	答第三＝重講第一幕
(2, 3) 與 (8, 11) 的距離	10	答 100 或 6＝重講第二幕
(3, 1) 順時針 90°	(1, −3)	答 (−1, 3)＝重講第三幕

09　導師常問

公式要背幾條？

實質只有兩條：距離用差值平方和開方，中點用平均值；變換靠三句口訣，不必另背。

軸上的點怎麼分象限？

在軸上的點不屬於任何象限，答「在 x 軸上」或「在 y 軸上」才正確。

旋轉題可否用畫圖代替公式？

可以，方格紙畫圖是最穩的檢查法；公式用來加快，畫圖用來核對。

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本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。