中三數學｜直線方程與斜率備課指引（導師用）｜兩點求斜率、斜截式、平行與垂直

2026-11-09

斜率不是「y 除以 x」，而是「y 的改變除以 x 的改變」；這一句講清楚，之後的平行與垂直都只是它的推論。

本堂目標　學生能夠：(1) 由兩點或圖像求出斜率，並分清正斜率、負斜率、零斜率與斜率不存在；(2) 寫出斜截式，並在斜截式與一般式之間互換；(3) 用斜率相等判斷平行、用斜率相乘等於 −1 判斷垂直，在 12 題診斷中答對至少 9 題。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
負數運算	17 減 5 是多少？	12
分數	12 除以 4 是多少？	3
代入	當 x 是 4，3x 減 1 是多少？	11.0

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0-6 分鐘	斜率是兩個改變的比	由 (2,5) 到 (6,17)，y 升了 12、x 升了 4，斜率是 3	講出斜率是 3 的理由
6-18 分鐘	斜截式	y 等於 3x 減 1；x 是 0 時 y 是 -1，所以 y 截距是 -1	寫出方程並指出截距
18-32 分鐘	截距與圖像	x 截距令 y 等於 0，得 x 等於三分之一；圖上直線與兩軸的交點就是兩個截距	由圖讀出兩個截距
32-44 分鐘	平行與垂直	平行斜率相等；垂直斜率相乘等於 −1，3 的垂直斜率是 −1/3	判斷三對直線的關係
44-56 分鐘	12 題診斷	四類題型即場批改：答對 9 題、錯 3 題	獨立完成
56-60 分鐘	離場檢查	三條口頭問題，任何一題錯就回到對應段落重教	口頭作答

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：斜率是兩個改變的比

斜率等於 y 的改變除以 x 的改變。由 (2,5) 到 (6,17)，y 由 5 升到 17，改變是 12；x 由 2 升到 6，改變是 4；斜率是 12 除以 4，等於 3。兩點都要用同一個方向（都是後減前），若只把其中一個顛倒，斜率就會由正變負。
教學動作：要求學生在兩點旁邊各寫一個小箭嘴，先寫「y 改變」再寫「x 改變」，然後才動手除。

學生做：求 (1,2) 與 (5,10) 的斜率（答案 2），並講出把兩點次序對調之後答案會否改變。

第二幕：斜截式：一個斜率加一個截距

y 等於 mx 加 c，m 是斜率、c 是 y 截距。斜率 3、通過 (2,5)，代入得 5 等於 3 乘 2 加 c，所以 c 等於 -1，方程是 y 等於 3x 減 1。驗算：把 x 等於 4 代入，y 等於 11.0，與 (4,11) 這點吻合。
教學動作：每次寫完方程都用其中一點代回去，一句「代回去成立」就是最便宜的檢查。

學生做：斜率 −2、通過 (1,−2)，寫出方程（y 等於 −2x），並講出 y 截距是 0 的意思。

第三幕：一般式與斜截式互換

一般式是 ax 加 by 加 c 等於 0。由 y 等於 3x 減 1 移項得 3x 減 y 減 1 等於 0，a 是 3、b 是 −1、c 是 −1。由一般式返回斜截式，就把 y 留在左邊，其餘移到右邊再除。
教學動作：提醒 b 不可以是 0，否則那是一條垂直線，斜率不存在，這也是垂直線寫不成斜截式的原因。

學生做：把 2x 加 3y 減 6 等於 0 化成斜截式（y 等於 −2/3 x 加 2），並讀出斜率與 y 截距。

第四幕：平行、垂直與兩個特殊情況

平行直線斜率相等：y 等於 3x 加 7 與 y 等於 3x 減 1 平行。垂直直線斜率相乘等於 −1：3 的垂直斜率是 −1/3。水平線 y 等於 4 的斜率是 0；垂直線 x 等於 −3 的斜率不存在，不要寫成 0。
教學動作：把三種情況寫成三行對照表（相等、相乘 −1、不存在），每次判斷前先問「這條是垂直線嗎」。

學生做：判斷 y 等於 2x 加 1 與 y 等於 −1/2 x 加 3 的關係（垂直），並解釋理由。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
由兩點求斜率	(2,5) 與 (6,17)	y 改變除以 x 改變，兩點次序要一致	3
寫出斜截式	斜率 3、通過 (2,5)	代入求 c，再用其中一點驗算	y 等於 3x 減 1
由一般式讀斜率	2x 加 3y 減 6 等於 0	把 y 留在左邊，其餘移右再除	斜率 −2/3、y 截距 2
平行與垂直	y 等於 3x 減 1 與另一條線	斜率相等為平行；相乘 −1 為垂直	垂直斜率 −1/3

合理性檢查（一定要教）：合理性檢查：向上的線斜率為正、向下為負；水平線斜率是 0、垂直線斜率不存在；由兩點求斜率時分子與分母的次序必須一致；垂直斜率相乘必須等於 −1；9 除以 12 是 75%，不是 9%。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
三題由兩點求斜率	含負斜率與零斜率各一題	分子與分母次序是否一致
兩題寫方程	已知斜率與一點、已知兩點	有沒有代回一點驗算
三題關係判斷	平行、垂直、一般式互換	有沒有先檢查是否垂直線

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
斜率上下顛倒	把 12 除以 4 寫成 4 除以 12	斜率的分子是 y 的改變、分母是 x 的改變，顛倒就是把斜度講反。
次序不一致	一點用後減前、另一點用前減後	兩點都用同一個方向，先寫好兩個改變再除，就不會一時一樣。
垂直線寫成斜率 0	把 x 等於 −3 的斜率寫成 0	垂直線的斜率不存在，0 是水平線的斜率，兩者是相反的極端。
平行與垂直條件混淆	用斜率相等去判斷垂直	平行是斜率相等，垂直是相乘等於 −1，把這兩句寫在紙角，每次判斷前讀一次。

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

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重做本章　重做診斷題第 1 至 6 題，每題先寫出兩個改變

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
(2,5) 與 (6,17) 的斜率	3	答 1/3 表示上下顛倒，重教第一段
斜率 3 的垂直斜率	−1/3	答 3 表示混淆平行與垂直，重教第四段
x 等於 −3 的斜率	不存在	答 0 表示混淆垂直線與水平線，重教第四段

09　導師常問

斜率一定要用分數表示嗎？

整數或最簡分數都可以；若題目要求小數，就先寫明取至幾位，不要把分數中途換成循環小數。

可以只用一點和斜率寫方程嗎？

可以，這就是點斜式：y 減 y₁ 等於 m 乘 (x 減 x₁)，展開之後就是斜截式。

為何垂直線沒有斜率？

斜率的分母是 x 的改變，垂直線的 x 完全沒有改變，除以 0 沒有意義，所以說斜率不存在。

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