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中三數學｜二次式因式分解備課指引（導師用）｜三種方法、十字相乘與 10 題診斷
學生識展開 (x＋3)(x＋4)，但反向操作就亂試。因式分解其實是展開的倒帶，而展開可以隨時用來驗答案。
本堂目標 學生能夠：① 先抽公因式再判斷用哪一種方法；② 用十字相乘分解首項係數為 1 與非 1 的二次式；③ 每次寫完答案都用展開回驗，並在 10 題診斷中答對 7 題。
01 先備知識（開課前 3 分鐘快檢）
以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：
| 技能 | 快檢題 | 過關標準 |
|---|---|---|
| 展開括號 | (x＋3)(x＋4) 展開是多少？ | x²＋7x＋12 |
| 負數乘法 | (−2)×(−3) 是多少？ | 6 |
| 最大公因數 | 6x 與 12 的公因式 | 6 |
02 課堂流程（60 分鐘）
| 時間 | 環節 | 導師做什麼 | 學生做什麼 |
|---|---|---|---|
| 0–6 分 | 倒帶示範 | 由 (x＋3)(x＋4) 展開，再倒轉問「x²＋7x＋12 由哪兩個括號來」 | 觀察並回答 |
| 6–18 分 | 先抽公因式 | 示範 3x²−12x＝3x(x−4)，強調任何題目第一步都是抽公因式 | 三題抽公因式 |
| 18–32 分 | 十字相乘（係數 1） | 找兩個數相加等於中間項、相乘等於常數項 | 做四題並講出兩數 |
| 32–46 分 | 係數非 1 與平方差 | 示範 2x²＋7x＋3、6x²−7x−3，以及 x²−9 的模式 | 每型兩題 |
| 46–56 分 | 10 題診斷 | 10 題混合三型，交回即批：7 題對、3 題錯 | 獨立完成 |
| 56–60 分 | 離場檢查 | 三題口頭問答，錯哪一型就重教該幕 | 口頭作答 |
03 講解腳本（照著說就可以）
第一幕：第一步永遠是抽公因式
見到二次式先問一句：「三項有無共同因式？」3x²−12x 三項（其實兩項）都有 3x，抽出來就是 3x(x−4)。抽完之後剩下的括號才有機會用十字相乘。
學生常常一開始就寫括號，結果整題卡住；抽公因式是零風險的第一步，而且抽完題目通常變簡單。
學生常常一開始就寫括號，結果整題卡住；抽公因式是零風險的第一步，而且抽完題目通常變簡單。
要學生做：把 3x²−12x、2x²＋6x、5x²−20 各抽一次公因式。
第二幕：十字相乘：兩個數的加與乘
首項係數是 1 時，x²＋7x＋12 只需要找兩個數：相加等於 7、相乘等於 12，就是 3 與 4，所以答案是 (x＋3)(x＋4)。常數項負數時一正一負：x²−5x＋6 是 −2 與 −3。平方差是特例：x²−9 看成 x²−3²，直接寫 (x＋3)(x−3)。
要學生講：每次寫答案前先講「兩個數相加是幾、相乘是幾」。
第三幕：係數非 1 與展開回驗
首項係數不是 1 時，十字相乘要同時配兩邊：2x²＋7x＋3 用 2x 與 x，再配 1 與 3，交叉相乘得 6x＋x＝7x，所以是 (2x＋1)(x＋3)。6x²−7x−3 用 3x 與 2x，配 1 與 −3，交叉得 −9x＋2x＝−7x。寫完一定展開回驗：乘開要一模一樣，否則中途有符號錯。
要學生做：把 (2x＋1)(x＋3) 與 (3x＋1)(2x−3) 展開，核對是否回到原式。
04 必教題型與步驟
| 題型 | 例子 | 步驟 | 答案 |
|---|---|---|---|
| 抽公因式 | 3x²−12x | 抽 3x，剩下 x−4 | 3x(x−4) |
| 係數 1 十字相乘 | x²＋7x＋12 | 找 3 與 4：和 7、積 12 | (x＋3)(x＋4) |
| 平方差 | x²−9 | 看成 x²−3² | (x＋3)(x−3) |
| 係數非 1 | 6x²−7x−3 | 3x 與 2x 配 1 與 −3，交叉 −9x＋2x | (3x＋1)(2x−3) |
合理性檢查（一定要教）：合理性檢查：展開回驗一定要回到原式；x²−9 不等於 (x−3)²；x²＋9 在實數不能分解；6x²−7x−3 的交叉項要相加得 −7x 而不是 −7；10 題對 7 題即 70%，不是 7%。
05 獨立練習三題
| 題目 | 答案 | 想觀察什麼 |
|---|---|---|
| 抽公因式三題 | 3x²−12x／2x²＋6x／5x²−20 | 有無抽淨 |
| 十字相乘四題 | x²＋7x＋12／x²−5x＋6／x²＋4x＋3／x²−9 | 兩數之和與積 |
| 係數非 1 兩題 | 2x²＋7x＋3／6x²−7x−3 | 交叉相乘是否得中間項 |
06 學生常見錯誤與糾正句
| 錯誤 | 學生通常這樣寫 | 導師這樣說 |
|---|---|---|
| 漏抽公因式 | 3x²−12x 寫成 (3x)(x−4) 但漏寫成 3x(x−4) 的形式 | 「先抽 3x 出來，寫成 3x(x−4)，唔好留一半在括號入面。」 |
| 符號配錯 | x²−5x＋6 寫成 (x＋2)(x＋3) | 「中間係負、常數係正，兩個數都要負：(x−2)(x−3)。」 |
| 平方差寫成完全平方 | x²−9 寫成 (x−3)² | 「(x−3)² 展開有 −6x；x²−9 無中間項，係 (x＋3)(x−3)。」 |
| 交叉項次序錯 | 6x²−7x−3 寫成 (3x−1)(2x＋3) | 「交叉要 −9x＋2x＝−7x；你那個係 ＋9x−2x＝＋7x，符號掉轉。」 |
07 家課建議（直接指到練習卷題號）
08 離場檢查（最後 5 分鐘）
| 題目 | 答案 | 判定 |
|---|---|---|
| x²＋7x＋12 分解 | (x＋3)(x＋4) | 答不出＝重講第二幕 |
| x²−9 分解 | (x＋3)(x−3) | 答 (x−3)²＝重講第三幕 |
| 6x²−7x−3 分解 | (3x＋1)(2x−3) | 答錯符號＝重講第三幕 |
09 導師常問
要背十字相乘表嗎？
不必。只練「和與積」兩個數的配法，再練係數非 1 的交叉相乘，自然就快。
何時用平方差？
只有兩項、兩個都是完全平方、中間是減號時；見到加號就要停，因為實數不能分解。
為甚麼一定要展開回驗？
展開是唯一不需要靠記憶的檢查法，十秒就能確認答案對錯，考試時尤其值得做。
本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。