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中四數學 坐標幾何練習三：三角形面積、平行線距離與圓方程
中四數學 坐標幾何練習三：三角形面積、平行線距離與圓方程
十題綜合運用：三角形面積、平行線距離、垂足、圓方程與交點計算。
直接答案 第 01 至 03 題練面積、平行線方程與平行線距離，第 04 至 06 題練垂足、由距離反求坐標與圓方程，第 07 至 09 題練交點、點到直線距離與共線反求，第 10 題針對中點公式的加減混淆。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 25 |
| 難度分佈 | 基礎 3 · 進階 3 · 挑戰 3 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中四數學 坐標幾何 |
| 適用年級 | 中四 |
02 題目（10 題）
- 基礎求頂點 (0, 0)、(6, 0)、(2, 4) 的三角形面積。
- 基礎求通過 (1, −3) 且與 2x + y = 4 平行的直線方程。
- 基礎求平行線 y = 2x + 1 與 y = 2x + 7 之間的距離。
- 進階求 (4, 5) 到直線 y = x 的垂足坐標。
- 進階點 (k, 3) 與 (2, −1) 的距離是 5，求 k 的所有可能值。
- 進階求圓心 (2, −1)、半徑 3 的圓方程。
- 挑戰直線 y = 2x + 1 與 (0, 0)、(4, 2) 的垂直平分線相交，求交點。
- 挑戰求原點到直線 3x + 4y = 10 的最短距離。
- 挑戰A(1, 2)、B(3, k)、C(7, 14) 三點共線，求 k。
- 錯題重練求 (−2, 5) 與 (4, −1) 的中點；有同學答 (−3, 3)。
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | 12 平方單位 | 底取 x 軸上 0 至 6 得 6，高是 4，面積 = 6 × 4 ÷ 2 = 12。 |
| 2 | 2x + y + 1 = 0 | 平行即斜率相同，設 2x + y + c = 0，代入 (1, −3) 得 2 − 3 + c = 0，所以 c = 1。 |
| 3 | 約 2.68 | 兩線的常數差是 6，斜率平方加 1 得 5，距離 = 6 ÷ √5 ≈ 2.68。 |
| 4 | (4.5, 4.5) | y = x 的斜率是 1，垂線斜率 −1，過 (4, 5) 得 y = −x + 9；與 y = x 相交得 x = 4.5，y = 4.5。 |
| 5 | k = 5 或 k = −1 | (k − 2)² + (3 + 1)² = 25，即 (k − 2)² = 9，所以 k − 2 = ±3，k = 5 或 −1。 |
| 6 | (x − 2)² + (y + 1)² = 9 | 標準式是 (x − a)² + (y − b)² = r²，代入圓心與半徑得 (x − 2)² + (y + 1)² = 9。 |
| 7 | (1, 3) | 線段中點 (2, 1)、斜率 0.5，垂直平分線 y = −2x + 5；與 y = 2x + 1 解得 x = 1，y = 3。 |
| 8 | 2 | 最短距離 = |10| ÷ √(3² + 4²) = 10 ÷ 5 = 2。 |
| 9 | 6 | AC 斜率 = (14 − 2) ÷ (7 − 1) = 2，共線代表 AB 斜率同為 2，所以 k = 2 + 2 × 2 = 6。 |
| 10 | (1, 2)（正確）；(−3, 3) 是把兩點相減而不是相加。 | 橫坐標 (−2 + 4) ÷ 2 = 1，縱坐標 (5 − 1) ÷ 2 = 2；相減再除 2 只是兩點差的一半。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。