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高中數學｜坐標幾何 備課指引（導師用）｜直線三條公式與圓方程三步
學生背得出斜率公式，但一見到「求圓的方程」就由零開始亂砌。這一堂把直線的三條公式與圓的配方連成一條線，最後用判別式判斷相交。
本堂目標 學生能夠：① 由兩點求斜率、中點、距離，並寫出垂直線的斜率；② 由圓心與半徑寫出圓方程，亦可由一般式配方回讀圓心與半徑；③ 把直線代入圓方程，用判別式判斷相交、相切或不相交。
01 先備知識（開課前 3 分鐘快檢）
以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：
| 技能 | 快檢題 | 過關標準 |
|---|---|---|
| 斜率 | 由兩點求斜率的公式 | (y₂−y₁)/(x₂−x₁) |
| 完全平方 | x² − 6x 加幾多才是完全平方 | 加 9 |
| 判別式 | b² − 4ac 大於 0 代表甚麼 | 兩個實根 |
02 課堂流程（60 分鐘）
| 時間 | 環節 | 導師做什麼 | 學生做什麼 |
|---|---|---|---|
| 0–8 分 | 開場診斷 | 問 A(1, 2) 與 B(5, 10) 的斜率 | 舉手答 |
| 8–22 分 | 直線三條公式 | 斜率 2、中點 (3, 6)、距離 8.94 | 自己算一次 |
| 22–36 分 | 圓的方程 | 圓心 (3, -1)、半徑 5，展開得 x² + y² -6x +2y -15 = 0 | 由一般式配方回讀 |
| 36–50 分 | 直線與圓相交 | 代入 y = 2x 得 5x² -6x -15 = 0，判別式 336 > 0 | 自己判一次 |
| 50–56 分 | 圓心到直線距離 | 圓心到 y = 2x 的距離 3.13 < 半徑 5 | 兩種方法對照 |
| 56–60 分 | 離場檢查 | 三題收回即批 | 獨立完成 |
03 講解腳本（照著說就可以）
第一幕：斜率是「每行一格升幾多」
斜率 = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)，A(1, 2) 與 B(5, 10) 得 (10 − 2) ÷ (5 − 1) = 2，即每向右一格升兩格。
中點是兩個坐標各自平均：((1+5)/2, (2+10)/2) = (3, 6)。
距離用畢氏定理：√(4² + 8²) = √80 = 8.94。垂直線的斜率是負倒數，即 -0.5，兩者相乘等於 −1。
中點是兩個坐標各自平均：((1+5)/2, (2+10)/2) = (3, 6)。
距離用畢氏定理：√(4² + 8²) = √80 = 8.94。垂直線的斜率是負倒數，即 -0.5，兩者相乘等於 −1。
要學生講：為甚麼垂直線斜率是負倒數？要提到兩條斜率相乘得 −1。
第二幕：圓方程只是「距離平方」
圓上一點到圓心距離等於半徑，兩邊平方就得 (x − 3)² + (y + 1)² = 5²。
展開後是 x² + y² -6x +2y -15 = 0。反過來由一般式回讀：x 的係數一半再變號就是圓心 x，即 3；y 同理得 -1。
半徑由配方後的常數開方：3² + -1² − (-15) = 25，開方得 5。切勿把常數直接開方當半徑。
展開後是 x² + y² -6x +2y -15 = 0。反過來由一般式回讀：x 的係數一半再變號就是圓心 x，即 3；y 同理得 -1。
半徑由配方後的常數開方：3² + -1² − (-15) = 25，開方得 5。切勿把常數直接開方當半徑。
要學生做：把 x² + y² − 8x + 4y − 5 = 0 配方，寫出圓心與半徑。
第三幕：代入一次，判別式講三種結局
求交點就把直線代入圓方程：y = 2x 代入得 5x² -6x -15 = 0，判別式 = (-6)² − 4 × 5 × (-15) = 336。
336 > 0，所以有兩個交點，x ≈ 2.43 與 -1.23，對應 y ≈ 4.87 與 -2.47。
另一條路是量圓心到直線的距離：|2×3 − (-1)| ÷ √5 = 3.13，小於半徑 5，結論一樣。兩條路都要會，因為題目有時只問距離。
336 > 0，所以有兩個交點，x ≈ 2.43 與 -1.23，對應 y ≈ 4.87 與 -2.47。
另一條路是量圓心到直線的距離：|2×3 − (-1)| ÷ √5 = 3.13，小於半徑 5，結論一樣。兩條路都要會，因為題目有時只問距離。
要學生做：把半徑改成 3，重做距離比較，講出為何變成相切以外的情況。
04 必教題型與步驟
| 題型 | 例子 | 步驟 | 答案 |
|---|---|---|---|
| 兩點求斜率 | A(1, 2)、B(5, 10) | 先減 y 再減 x | 2 |
| 圓方程 | 圓心 (3, -1)、半徑 5 | 寫平方形式再展開 | x² + y² -6x +2y -15 = 0 |
| 判相交 | y = 2x 與該圓 | 代入後算判別式 | 判別式 336，兩點 |
| 圓心到直線 | 圓心 (3, -1) 到 2x − y = 0 | 公式 |ax₀+by₀+c| ÷ √(a²+b²) | 3.13 |
合理性檢查（一定要教）：合理性檢查：斜率 (10−2) ÷ (5−1) 為正，與 B 在 A 右上一致；中點 (3, 6) 落在兩點之間；√80 = 8.94 大於水平距離 4 且大於垂直距離 8，方向正確；圓方程常數 -15 為負，表示原點在圓內（3² + -1² = 10 低於 25）合理；判別式 336 為正，與圓心距離 3.13 小於半徑 5 的結論一致，兩種方法互相印證。
05 獨立練習三題
| 題目 | 答案 | 想觀察什麼 |
|---|---|---|
| 斜率與中點三題 | 不同組合的兩點 | 有無把 x 與 y 的次序倒轉 |
| 圓方程三題 | 由圓心半徑寫方程、由一般式回讀 | 有無把常數直接開方當半徑 |
| 判相交兩題 | 直線與圓的三種情況 | 有無漏算判別式或符號錯 |
| 距離一題 | 圓心到直線 | 有無漏絕對值 |
06 學生常見錯誤與糾正句
| 錯誤 | 學生通常這樣寫 | 導師這樣說 |
|---|---|---|
| 斜率上下倒轉 | 寫成 (5−1) ÷ (10−2) = 0.5 | 斜率是「y 的改變 ÷ x 的改變」，x 永遠在下面；倒轉後垂直線的負倒數也會全錯。 |
| 半徑當常數開方 | 見常數 -15 就寫半徑 √15 | 要先配方：半徑平方 = 圓心 x² + 圓心 y² − 常數，即 {CX**2+CY**2-CONST:.0f}，開方才是 {RAD:.0f}。 |
| 相切當相交 | 判別式 336 > 0 仍寫「相切」 | 判別式大於 0 是兩個交點，等於 0 才相切；三種情況要背清楚對應。 |
| 垂直線寫成正倒數 | 寫成 +0.5 或 2 | 垂直斜率是負倒數 −1/2，相乘要等於 −1；寫正數即兩線同向。 |
07 家課建議（直接指到練習卷題號）
08 離場檢查（最後 5 分鐘）
| 題目 | 答案 | 判定 |
|---|---|---|
| A(1, 2)、B(5, 10) 的斜率 | 2 | 答 1/2 即回到第一幕 |
| x² + y² − 6x + 2y − 15 = 0 的圓心與半徑 | (3, −1)，半徑 5 | 答半徑 √15 即重講第二幕 |
| 判別式大於 0 代表直線與圓怎樣 | 相交於兩點 | 答相切即重講第三幕 |
09 導師常問
公式要背幾多條？
四條就夠：斜率、中點、距離、圓方程平方形式。垂直斜率與圓心距離可由這四條推出來，不必另背。
圓方程一定要展開嗎？
題目給圓心與半徑就寫平方形式，運算更快；題目給一般式就要配方，兩種寫法都要熟。
判別式與距離法用哪個好？
問交點坐標用判別式，只問關係（相交、相切、不相交）用距離法更快；兩者結論必然一致，可以互相驗算。
本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。