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中四數學 函數圖像變換：第三份（挑戰）
中四數學 函數圖像變換：第三份（挑戰）
第 3 份（挑戰）十題函數圖像變換練習，附答案與一句解說。
直接答案 適用程度：中四數學；題型：平移、反射、伸縮、複合變換與頂點判讀。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 20 |
| 難度分佈 | 基礎 3 · 進階 3 · 挑戰 3 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中四數學 函數圖像變換 |
| 適用年級 | 中四 |
02 題目（10 題）
- 基礎把 y = f(x) 橫向壓縮 3 倍，寫出新方程；點 (12, 5) 移到哪裡？
- 基礎把 y = f(x) 橫向伸長 2 倍，寫出新方程；點 (3, 5) 移到哪裡？
- 基礎y = af(x) 的圖像經過點 (2, 9)，已知 f(2) = 3，求 a。
- 進階y = f(x) + k 的圖像經過 (5, 2)，已知 f(5) = −7，求 k。
- 進階變換把點 (7, 4) 移到 (4, 4)，且只涉及水平平移。求變換後的方程。
- 進階已知 f(1) = 4。把圖像先縱向伸長 2 倍，再關於 x 軸反射，最後向上平移 5 單位，求點 (1, 4) 的像。
- 挑戰y = x² 與 y = (2x)² 在同一 y 值 16 時，對應的 x 值分別是多少？兩個圖像有甚麼關聯？
- 挑戰y = 3f(x) 與 y = f(2x) 分別怎樣改變圖像的形狀與面積？請各寫一句。
- 挑戰把 y = f(x) 先向左平移 2 單位，再關於 y 軸反射，所得方程是甚麼？
- 錯題重練有同學說：y = f(−x) 與 y = −f(x) 是同一個變換。這句話錯在哪裡？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | y = f(3x)；點移到 (4, 5) | 解 3x = 12 得 x = 4，y 值保持 5。 |
| 2 | y = f(x/2)；點移到 (6, 5) | 橫向伸長 2 倍是把 x 換成 x 除以 2，即解 x/2 = 3 得 x = 6。 |
| 3 | a = 3 | 把點代入得 9 = a × 3，所以 a = 3，圖像是縱向伸長 3 倍。 |
| 4 | k = 9 | 把點代入得 2 = −7 + k，所以 k = 9，圖像向上平移 9 單位。 |
| 5 | y = f(x + 3) | x 由 7 減到 4，即向左移 3，所以把 x 換成 x + 3。 |
| 6 | 點移到 (1, −3) | 伸長得 8，反射得 −8，加 5 得 −3，x 坐標全程不變。 |
| 7 | 前者 x = 4 或 −4，後者 x = 2 或 −2；後者是前者橫向壓縮 2 倍 | x² = 16 得 x = ±4，(2x)² = 16 得 x = ±2，橫向壓縮令圖像變窄而高度不變。 |
| 8 | y = 3f(x) 縱向伸長 3 倍，面積變 3 倍；y = f(2x) 橫向壓縮 2 倍，面積變一半 | 縱向乘 3 令高度變 3 倍，面積跟隨乘 3；橫向壓縮 2 倍令闊度變一半，面積減半。 |
| 9 | y = f(−x + 2) | 先得 f(x + 2)，再把 x 換成 −x，得 f(−x + 2)，次序不能對調。 |
| 10 | 錯在反射的軸：f(−x) 是關於 y 軸反射，−f(x) 是關於 x 軸反射，兩者不同。 | 前者改自變量的符號，令左右倒轉；後者改函數值的符號，令上下倒轉。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
做圖像變換的題目，先問清楚變的是外面還是裡面。改在函數外面（例如加 k、乘 a、加負號），圖像就上下移動、縱向伸縮或關於 x 軸反射；改在自變量裡面（例如 x 加 h、x 乘 k），圖像就左右移動或橫向伸縮，而且方向與直覺相反：f(x + 3) 是向左移 3，不是向右。追蹤單一點時，最穩妥的做法是把該點的 x 代入裡面、把結果交給外面，逐步算出新座標，不要憑記憶猜。遇到兩步變換，先做裡面再做外面，次序不同結果會不同。最後檢查頂點有沒有跟著移動、開口方向有沒有反過來，並用一個方便的點（例如 x = 0）代入驗算。導師登記 →
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