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中四數學：對數 練習三（應用與比較）
中四數學：對數 練習三（應用與比較）
本份把對數放進 pH、地震規模、分貝與複利四個情境，並比較不同底數的對數大小。
快速答案 1. 3｜2. 10⁻⁴ mol/L｜3. 3 級｜4. 10 步｜5. 3 個｜6. 約 9 年｜7. 30 dB｜8. 100 倍與 1 000 倍｜9. log₂5 較大｜10. 20 dB
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 題 |
| 建議時間 | 25 分鐘 |
| 難度分佈 | 基礎 4 · 進階 3 · 挑戰 2 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中四數學 對數 |
| 適用年級 | 挑戰 |
02 題目（10 題）
- 基礎某溶液氫離子濃度 [H⁺] = 10⁻³ mol/L，求 pH。
- 基礎某溶液 pH = 4，求 [H⁺]。
- 基礎兩次地震的振幅比為 1 000 倍，里氏規模相差多少級？
- 基礎某程序每步把運算次數加倍，由 1 次增至 1 024 次需要多少步？
- 進階放射性物質只剩下原來的 1/8，經過了多少個半衰期？
- 進階年利率 8%（每年複利），本金翻倍約需多少年？（取 log₁₀2 ≈ 0.3010、log₁₀1.08 ≈ 0.0334）
- 進階聲音強度增加 1 000 倍，聲量增加多少分貝？
- 挑戰地震 A 規模 7、地震 B 規模 5，兩者振幅比與能量比各為多少？
- 挑戰比較 log₂5 與 log₃5 的大小，並說明理由。
- 錯題重練有同學見聲音強度大 100 倍，就答「聲量增加 100 dB」。正確答案是多少？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | pH = −log₁₀(10⁻³) = 3。 | pH 每下降 1，酸度就強 10 倍。 |
| 2 | [H⁺] = 10⁻⁴ mol/L。 | 把 pH 的定義反過來寫，就是 10 的負 pH 次方。 |
| 3 | M = log₁₀1000 = 3，即相差 3 級。 | 規模是振幅的常用對數，差 1 級等於振幅差 10 倍。 |
| 4 | log₂1024 = 10，共 10 步。 | 每次加倍的問題用底 2 的對數最直接。 |
| 5 | (1/2)ⁿ = 1/8，n = log₂8 = 3，即 3 個半衰期。 | 半衰期用底 2，剩餘比例的分母正是 2 的次方。 |
| 6 | n = 0.3010 ÷ 0.0334 ≈ 9.01，約需 9 年。 | 翻倍時間可用 72 法則快速估算：72 ÷ 8 = 9。 |
| 7 | 10 log₁₀1000 = 10 × 3 = 30，即增加 30 dB。 | 分貝是 10 倍的常用對數，強度乘 10 只加 10 dB。 |
| 8 | 振幅比 = 10^(7−5) = 100 倍；能量比 ≈ 10^(1.5 × 2) = 1000 倍。 | 能量約與振幅的 1.5 次方成正比，所以能量差距放大得更快。 |
| 9 | log₂5 ≈ 2.32、log₃5 ≈ 1.46，故 log₂5 較大。 | 真數大於 1 時，底數越小，對數值越大。 |
| 10 | 10 log₁₀100 = 20，正確是增加 20 dB。 | 分貝是對數單位，強度 100 倍只等於 20 dB。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。
