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中四數學 立體圖形度量：第二份（進階）
中四數學 立體圖形度量：第二份（進階）
第 2 份（進階）十題立體圖形度量練習，附答案與一句解說。
直接答案 適用程度：中四數學；題型：體積、表面積、圓錐展開圖、相似立體比例。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 20 |
| 難度分佈 | 基礎 3 · 進階 3 · 挑戰 3 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中四數學 立體圖形度量 |
| 適用年級 | 中四 |
02 題目（10 題）
- 基礎球體的半徑 3 cm。求它的表面積（以 π 表示，並取三位小數）。
- 基礎圓柱的半徑 7 cm、高 2 cm。求它的曲面面積（不計兩個底）。
- 基礎四角錐的底面是 6 cm × 6 cm 的正方形，高 5 cm。求它的體積。
- 進階圓錐的半徑 5 cm、斜高 13 cm。求它的高與體積。
- 進階半球體的半徑 6 cm。求它的體積（以 π 表示，並取三位小數）。
- 進階一條圓柱形水管，內半徑 2 cm、長 50 cm。求管內空間的體積。
- 挑戰兩個相似圓柱的表面積比是 9 : 25。求它們的邊長比與體積比。
- 挑戰圓錐的半徑 3 cm、斜高 5 cm。求它的總表面積（曲面加底面）。
- 挑戰一個球體的體積是 36π cm³。求它的半徑與表面積。
- 錯題重練（錯題重練）有同學認為同底同高的圓柱與圓錐體積相等。半徑 3 cm、高 6 cm 時，兩者體積各是多少？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | 表面積 = 4 × π × 3² = 36π ≈ 113.097 cm²。 | 表面積是四乘圓周率乘半徑平方，次方是二不是三。 |
| 2 | 曲面面積 = 2 × π × 7 × 2 = 28π ≈ 87.965 cm²。 | 曲面面積只是側面那一圈，等於底面圓周乘高。 |
| 3 | 體積 = 1/3 × 36 × 5 = 60 cm³。 | 錐體體積是底面積乘高的三分之一，底面積先算好。 |
| 4 | 高 = √(13² − 5²) = 12 cm；體積 = 1/3 × π × 25 × 12 = 100π ≈ 314.159 cm³。 | 已知斜高求高要用減法開方，再用高計體積，不可以用斜高代替高。 |
| 5 | 體積 = 2/3 × π × 6³ = 144π ≈ 452.389 cm³。 | 半球是整球的二分一，所以三分之四變成三分之二。 |
| 6 | 體積 = π × 2² × 50 = 200π ≈ 628.319 cm³。 | 水管是空心圓柱，題目問的是管內空間，照用圓柱體積公式。 |
| 7 | 邊長比 = √9 : √25 = 3 : 5；體積比 = 27 : 125。 | 由面積比開方得邊長比，再由邊長比立方得體積比。 |
| 8 | 總表面積 = π × 3 × 5 + π × 3² = 15π + 9π = 24π ≈ 75.398 cm²。 | 圓錐只有一個底面，總表面積是曲面面積加一個圓。 |
| 9 | 4/3 π r³ = 36π，得 r³ = 27，r = 3 cm；表面積 = 4π × 9 = 36π ≈ 113.097 cm²。 | 先把 π 約去，再開三次方得半徑，最後代入表面積公式。 |
| 10 | 圓柱 54π ≈ 169.646 cm³，圓錐 18π ≈ 56.549 cm³，圓錐是圓柱的三分之一。 | 錐體比柱體少一個三分之一的因子，所以體積相差三倍。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
做立體圖形的度量題，先把題目講的立體畫出來，並在圖上標明半徑、高與斜高三個量。錐體的體積永遠是相同底面相同高度的柱體的三分之一，所以公式前面那個三分之一不可以漏。球體的體積是三分之四乘圓周率乘半徑三次方，表面積是四乘圓周率乘半徑二次方，兩條公式只差一個次方與一個系數，抄的時候要分辨清楚。圓錐的展開圖是一個扇形，扇形的弧長等於底面圓周，所以扇形角等於三百六十度乘半徑再除斜高。題目講到兩個立體相似時，面積比是邊長比的平方，體積比是邊長比的立方，先求出邊長比，再平方或立方，就不會把兩個比例調亂。導師登記 →
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