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中四數學 立體圖形度量：第三份（挑戰）
中四數學 立體圖形度量：第三份（挑戰）
第 3 份（挑戰）十題立體圖形度量練習，附答案與一句解說。
直接答案 適用程度：中四數學；題型：體積、表面積、圓錐展開圖、相似立體比例。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 20 |
| 難度分佈 | 基礎 3 · 進階 3 · 挑戰 3 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中四數學 立體圖形度量 |
| 適用年級 | 中四 |
02 題目（10 題）
- 基礎一個立體放大 1.5 倍後與原立體相似。求體積放大的倍數。
- 基礎圓錐的半徑 4 cm、斜高 9 cm。它的展開圖扇形的圓心角是多少？
- 基礎一個複合立體由半徑 3 cm、高 8 cm 的圓柱，上面加一個同半徑的半球組成。求總體積。
- 進階一個四角錐的底面是 5 cm × 4 cm 的長方形，體積 60 cm³。求它的高。
- 進階球體的半徑加倍後，表面積變成原來的幾倍？體積變成原來的幾倍？
- 進階正方體的棱長 6 cm。求它最長的一條對角線（由一個頂點到對面的頂點）。
- 挑戰圓錐的體積是 96π cm³、高 8 cm。求它的半徑、斜高與曲面面積。
- 挑戰兩個相似圓柱的體積比是 8 : 125。求它們的表面積比。
- 挑戰半徑 3 cm、高 4 cm 的圓柱裝滿水，全部倒入半徑 3 cm、高 12 cm 的圓錐。需要倒幾次才滿？
- 錯題重練（錯題重練）有同學把 3 : 5 這個邊長比直接當成體積比。同一對相似立體的表面積比與體積比實際是多少？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | 體積倍數 = 1.5³ = 3.375 倍。 | 長度放大 k 倍，體積就放大 k 的三次方倍。 |
| 2 | 扇形角 = 360° × 4 ÷ 9 ≈ 160°。 | 扇形角與半徑成正比、與斜高成反比。 |
| 3 | 圓柱 72π 加半球 18π，合共 90π ≈ 282.743 cm³。 | 複合立體分開兩部分計，再把兩個體積相加。 |
| 4 | 1/3 × 20 × h = 60，得 h = 9 cm。 | 由體積反求高，先把三分之一與底面積移去另一邊。 |
| 5 | 表面積 2² = 4 倍（由 100 cm² 增至 400 cm²）；體積 2³ = 8 倍。 | 半徑是長度，面積按平方放大、體積按立方放大。 |
| 6 | 對角線 = 6√3 ≈ 10.392 cm。 | 立體對角線是邊長乘根號三，平面對角線才用根號二。 |
| 7 | r² = 96 × 3 ÷ 8 = 36，r = 6 cm；斜高 = √(6² + 8²) = 10 cm；曲面面積 = 60π ≈ 188.496 cm²。 | 由體積反求半徑，再開方求斜高，最後代入 πrl。 |
| 8 | 邊長比 = ∛8 : ∛125 = 2 : 5；表面積比 = 4 : 25。 | 由體積比開三次方得邊長比，再平方得表面積比。 |
| 9 | 圓柱體積 36π，圓錐體積 36π，所以 1 次就剛好滿。 | 先分別算出兩個體積再相除，不要憑高度比例猜。 |
| 10 | 表面積比 = 9 : 25，體積比 = 27 : 125，兩者都不等於 3 : 5。 | 邊長比要平方才是面積比，要立方才是體積比。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
做立體圖形的度量題，先把題目講的立體畫出來，並在圖上標明半徑、高與斜高三個量。錐體的體積永遠是相同底面相同高度的柱體的三分之一，所以公式前面那個三分之一不可以漏。球體的體積是三分之四乘圓周率乘半徑三次方，表面積是四乘圓周率乘半徑二次方，兩條公式只差一個次方與一個系數，抄的時候要分辨清楚。圓錐的展開圖是一個扇形，扇形的弧長等於底面圓周，所以扇形角等於三百六十度乘半徑再除斜高。題目講到兩個立體相似時，面積比是邊長比的平方，體積比是邊長比的立方，先求出邊長比，再平方或立方，就不會把兩個比例調亂。導師登記 →
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