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中四數學 二次函數圖像練習三（挑戰）：十題參數、範圍與恆正條件
中四數學 二次函數圖像練習三（挑戰）：十題參數、範圍與恆正條件
十題推到參數層面：由重根或兩個實根求 k、由相離條件定範圍、恆正不等式的兩重條件，以及不等式端點。
直接答案 第 01 至 03 題練重根求 k、兩實根範圍與大於等於型不等式，第 04 至 06 題練由一點反求 a、由兩根寫方程與直線交點，第 07 至 09 題練兩根之間解集、相離求 k 與恆正條件，第 10 題針對開方漏負方向。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 25 |
| 難度分佈 | 基礎 3 · 進階 3 · 挑戰 3 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中四數學 二次函數圖像 |
| 適用年級 | 中四 |
02 題目（10 題）
- 基礎x² + kx + 9 = 0 有重根，求 k 的可能值。
- 基礎x² + (k − 1)x + 4 = 0 有兩個不同實根，求 k 的範圍。
- 基礎解不等式 x² − 4x + 3 ≥ 0。
- 進階已知 y = a(x − 2)² + 5 的圖像過 (0, 1)，求 a。
- 進階兩根為 2 與 −3，且x² 前面的數為 1，寫出這個二次方程。
- 進階求 y = x² − 4x + 1 與 y = x − 3 的交點坐標。
- 挑戰解不等式 (x − 1)(x + 3) < 0。
- 挑戰y = x² − 4x + k 的圖像與 x 軸沒有交點，求 k 的範圍。
- 挑戰kx² − 2x + 1 > 0 對所有實數 x 都成立，求 k 的範圍。
- 錯題重練錯題重練：解 x² ≥ 9。有同學答 x ≥ 3，正確解集是什麼？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | k = 6 或 −6 | 重根即判別式為零：k² − 36 = 0，故 k = ±6，兩個值都成立。 |
| 2 | k > 5 或 k < −3 | 判別式 (k − 1)² − 16 > 0，即 |k − 1| > 4，故 k > 5 或 k < −3。 |
| 3 | x ≤ 1 或 x ≥ 3 | 因式分解得 (x − 1)(x − 3) ≥ 0，開口向上，故在兩根之外（含端點）取非負值。 |
| 4 | a = -1 | 代入 (0, 1)：1 = a × 4 + 5，故 4a = −4，a = -1。 |
| 5 | x² + x − 6 = 0 | 和 = −1、積 = −6，故方程是 x² + x − 6 = 0（即 (x − 2)(x + 3) = 0）。 |
| 6 | (1, −2) 與 (4, 1) | 令 x² − 4x + 1 = x − 3 得 x² − 5x + 4 = 0，故 x = 1 或 4，代回直線得兩個交點。 |
| 7 | −3 < x < 1 | 兩根是 1 與 −3，開口向上，故在兩根之間取負值，得 −3 < x < 1。 |
| 8 | k > 4 | 判別式 16 − 4k < 0，故 k > 4。 |
| 9 | k > 1 | 要有正值且整條在 x 軸上方：k > 0 且判別式 4 − 4k < 0，兩條件合起來得 k > 1。 |
| 10 | x ≥ 3 或 x ≤ −3 | 開方要考慮負方向：x² ≥ 9 表示 |x| ≥ 3，故 x ≥ 3 或 x ≤ −3；只寫 x ≥ 3 會漏掉 −4、−5 等。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。