中四數學　餘式定理與因式定理：第三份（挑戰）

第 3 份（挑戰）十題餘式定理與因式定理練習，附答案與一句解說。

直接答案　適用程度：中四數學；題型：求餘式、判斷因式、反求未知常數、長除法與因式分解。

01　本卷資料（做完才看答案）

基礎設 P(x) = x³ + kx² − 4x + 4。已知 P(x) 除以 (x − 2) 的餘式為 8，求 k。
基礎設 P(x) = 2x³ + ax² + bx − 6。已知 (x − 1) 與 (x − 2) 都是因式，求 a 與 b。
基礎設 P(x) = x³ − 3x² − 10x + 24。已知 x = 2 是 P(x) = 0 的根，將 P(x) 完全因式分解。
進階設 P(x) = x³ + ax² + bx + 8。已知 (x − 1) 與 (x + 2) 都是因式，將 P(x) 完全因式分解。
進階設 P(x) = 2x³ + px² − 8x + 3。已知 (2x − 1) 是因式，求 p，並將 P(x) 完全因式分解。
進階設 P(x) = x⁴ + ax³ − 2x + 5。已知 P(x) 除以 (x + 1) 的餘式為 10，求 a。
挑戰設 P(x) = x³ + ax² + bx − 4。已知除以 (x − 2) 的餘式為 2，除以 (x + 1) 的餘式為 −4，求 a 與 b。
挑戰設 P(x) = 2x³ − 5x² − 4x + 12。已知 x = 2 是重根，將 P(x) 完全因式分解。
挑戰設多項式 P(x) 除以 (x − 1) 的餘式為 5，除以 (x − 3) 的餘式為 11。求 P(x) 除以 (x − 1)(x − 3) 的餘式。
錯題重練錯題重練：學生要判斷 (2x − 1) 是否 2x³ − x² − 8x + 4 的因式，於是代入 x = 1 得 P(1) = −3 就說不是因式。錯在哪裡？

題號	答案	一句解說
1	P(2) = 8 + 4k − 8 + 4 = 8，解得 k = 1。	先寫出 P(2) 的完整式子，再與題目給的餘式相等，最後才整理。
2	a = -9，b = 13。	P(1) = 0 得 a + b = 4，P(2) = 0 得 2a + b = −5，相減即得 a。
3	P(x) = (x − 2)(x − 4)(x + 3)。	根是 2 就有因式 (x − 2)，長除法得商式 x² − x − 12，再分解。
4	a = -3，b = -6，P(x) = (x − 1)(x − 4)(x + 2)。	由 P(1) = 0 與 P(−2) = 0 解出 a、b，再長除得到第三個因式。
5	p = 3，P(x) = (2x − 1)(x + 3)(x − 1)。	(2x − 1) 是因式就要用 P(1/2) = 0，之後商式為 x² + 2x − 3。
6	P(−1) = 1 − a + 2 + 5 = 10，解得 a = -2。	缺 x² 與 x⁴ 之後的項要當 0，逐項代入不要漏。
7	a = 0，b = -1。	兩條方程 2a + b = −1 與 a − b = 1，相加即得 3a = 0。
8	P(x) = (x − 2)²(2x + 3)。	重根代表同一個因式出現兩次：長除 (x − 2) 之後，商式仍以 2 為根。
9	餘式為 3x + 2。	除以二次式時餘式最高是線性，設 ax + b，用兩個條件解 a、b。
10	應代入 x = 1/2，P(1/2) = 0，所以 (2x − 1) 是因式。	除式是 (ax − b) 就要代入 b/a；代入 1 只適用於 (x − 1)。

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