DSE 數學｜餘式定理與因式定理備課指引（導師用）

DSE 數學｜餘式定理與因式定理備課指引（導師用）｜代一個數，省一次長除法

2026-11-03

學生一見三次多項式就開始寫長除法，寫到第三行就錯號。這一堂把「除以 x − a 的餘數」變成「代入 a」，再做兩次示範讓他知道：長除法只是備用，代數才是主路。

本堂目標　學生能夠：① 用 P(a) 求 P(x) 除以 (x − a) 的餘數，x³ − 4x² + x + 6 除以 (x − 3) 餘 0；② 用綜合除法處理 2x³ + x² − 13x + 6 除以 (x − 2)，得商 2x² + 5x − 3；③ 由兩個已知因式解未知係數，得 a = −4、b = 10 並補齊第三個因式 (x − 5)；④ 講出餘式定理只適用於一次除式，除以 (x − 1)(x + 2) 時要分別代入而不是除一次。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
多項式代入	P(x) = x² − 3x + 2，P(4) 等於幾多？	16 − 12 + 2 = 6
因式分解	x² − 5x + 6 分解成咩？	(x − 2)(x − 3)
除法	12x³ ÷ 3x 等於幾多？	4x²
餘數概念	17 除以 5 的商與餘數？	商 3 餘 2，即 17 = 5 × 3 + 2

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–8 分	開場衝突	問：x³ − 4x² + x + 6 除以 (x − 3)，唔做長除法點算？	講出「代 x = 3」就夠
8–20 分	餘式定理	示範 P(3) = 0 與 P(½) = 45/8 兩個對比	分清「整除」與「有餘數」
20–32 分	綜合除法	把 2、1、−13、6 落表，除數寫 2	寫出商 2x² + 5x − 3
32–44 分	因式定理	由 P(2) = 0 反推 (x − 2) 是因式，再分解到底	三個根寫齊 2、½、−3
44–54 分	未知係數	x³ + ax² − 7x + b 被 (x − 1) 與 (x + 2) 整除	解出 a = −4、b = 10
54–60 分	收尾	叫學生用第三個根 5 驗算	寫離場檢查第一題

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：餘式定理不是新公式，是除法的定義

P(x) = (x − a)Q(x) + R。除以一次式，餘式一定是一個常數 R，不會有 x。代入 x = a，左邊得 P(a)，右邊 (a − a)Q(a) 變零，只剩 R。學生如果只背「代 a 就係餘數」，遇到除式是 (2x − 1) 就會代 1 而不是 ½，所以一開始要把「令除式等於零的那個數」講清楚：2x − 1 = 0 得 x = ½。

留在黑板的一句：餘數是代入的結果，不是長除法的副產品。

第二幕：綜合除法是省紙，不是新方法

把係數 2、1、−13、6 排好，左邊寫 2：第一粒直接落，2 × 2 = 4 加上 1 得 5，5 × 2 = 10 加上 −13 得 −3，−3 × 2 = −6 加上 6 得 0。最後一格是餘數，前面幾格是商 2x² + 5x − 3。要學生每次寫完都檢查次數：三次除一次，商一定是二次。

留在黑板的一句：寫完商先數次數，次數對才計數值。

第三幕：兩個因式等於兩條方程

P(x) = x³ + ax² − 7x + b 被 (x − 1) 與 (x + 2) 整除，即 P(1) = 0 與 P(−2) = 0。代入得 a + b = 6 與 4a + b = −6，相減得 3a = −12，a = −4，b = 10。補齊後 P(x) = x³ − 4x² − 7x + 10 = (x − 1)(x + 2)(x − 5)，第三個根是 5，正好用來驗算。

留在黑板的一句：每個因式送一條方程，兩條方程解兩個未知。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
求餘數	x³ − 4x² + x + 6 除以 (x − 3) 的餘數	① 令除式 = 0 得 x = 3 ② 代入 P(3) ③ 負數要加括號計	0（即整除）
求餘數（除式有係數）	同上多項式除以 (2x − 1) 的餘數	① 2x − 1 = 0 得 x = ½ ② 代入，注意 (½)³ = ⅛ ③ 通分	45/8 = 5.625
因式分解三次式	分解 2x³ + x² − 13x + 6	① 試 P(2) 得 0 ② 綜合除法得商 2x² + 5x − 3 ③ 再分解商	(x − 2)(2x − 1)(x + 3)
未知係數	x³ + ax² − 7x + b 被 (x − 1) 及 (x + 2) 整除，求 a、b	① 兩次代入得兩條方程 ② 相減消 b ③ 回代驗算第三個根	a = −4，b = 10

合理性檢查（一定要教）：次數檢查：三次式除以一次式，商一定是二次，餘式一定是常數；如果商寫成三次，就是漏了降次。數值檢查：整除的題目 P(a) 一定得 0，計到 0.0001 之類多數是四捨五入而不是整除。分數代入時分子分母都要立方，½ 的立方是 ⅛ 不是 ½，這一格最多人錯。未知係數解完要回代其中一條原方程，兩條都成立才算完成。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
P(x) = 2x³ + x² − 13x + 6，求 P(2) 與 P(−3)	P(2) = 0，P(−3) = −54 + 9 + 39 + 6 = 0	兩個都係 0 代表兩個都係因式
分解 2x³ + x² − 13x + 6 的全部因式	(x − 2)(2x − 1)(x + 3)	用 x = ½ 驗第二個括號
x³ + ax² − 7x + b 被 (x − 1)(x + 2) 整除，求 a + b	a = −4、b = 10，故 a + b = 6	題目問 a + b，唔係各自

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
除式有係數時代錯數	「2x − 1 即係 x = 1，所以代 P(1)」	「令除式等於零：2x − 1 = 0，x 係 ½。你代 1 求出嚟嘅係除以 (x − 1) 嘅餘數。」
餘式寫成有 x	「餘式係 3x + 1」	「除以一次式，餘式只會是一個數。出現 x 代表你其實未除完，或者把商的一部份當成餘式。」
忘記降次	「商係 2x³ + 5x − 3」	「三次除一次，商係二次。你嘅第一項應該係 2x²，睇下次數先落筆。」
用餘式定理處理二次除式	「除以 (x − 1)(x + 2)，我代 x = 1 就得餘數 0」	「餘式定理只管一次除式。二次除式的餘式可以是一次式 ax + b，要設兩個未知再代入兩個值。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

數學科章節索引　先重溫「二次方程與判別式」，再做卷內第 1、2 題
二次方程與判別式　做完第 3 題（已知一根求另一根），再做本科練習第 4 至 6 題
圖像與多項式　選做：用圖像解釋為何 P(a) = 0 代表曲線與 x 軸相交

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
x³ − 4x² + x + 6 除以 (x − 3) 的餘數	0	錯：代了 x = −3
同上，除以 (2x − 1) 的餘數	45/8	錯：代了 x = 1
2x³ + x² − 13x + 6 的因式	(x − 2)(2x − 1)(x + 3)	錯：只寫 (x − 2) 就停
除以二次式的餘式次數	最多一次（ax + b）	錯：答「一定是常數」

09　導師常問

點解代 a 就等於餘數？

因為 P(x) = (x − a)Q(x) + R，代 x = a 時前項變零，只剩 R。這不是技巧，是等式本身。

幾時用長除法，幾時用綜合除法？

除式是一次式用綜合除法最快；除式是二次或以上就要用長除法，因為綜合除法只對一次除式成立。

未知係數的題目一定要兩條方程？

兩個未知就要兩條方程，所以題目一定給你兩個條件，例如兩個因式、兩個餘數，或者一個因式加一個餘數。

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