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中四數學 正弦定理與餘弦定理練習二（進階）：十題反求與應用
中四數學 正弦定理與餘弦定理練習二（進階）：十題反求與應用
十題轉向反求角度、三邊求面積與平行四邊形對角線，並處理兩解情況。
直接答案 第 01 至 03 題練正弦與餘弦定理反求，第 04 至 06 題練面積、海倫公式與平行四邊形，第 07 至 09 題練兩解、先求第三角與 13-14-15 面積，第 10 題針對餘弦定理符號寫錯。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 25 |
| 難度分佈 | 基礎 3 · 進階 3 · 挑戰 3 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中四數學 正弦定理與餘弦定理 |
| 適用年級 | 中四 |
02 題目（10 題）
- 基礎三角形中 a = 10 cm、A = 45°、B = 60°。求 b。
- 基礎三角形中 b = 9 cm、c = 5 cm、A = 120°。求 a。
- 基礎三角形三邊 a = 7 cm、b = 8 cm、c = 9 cm。求 A。
- 進階三角形兩邊 8 cm 與 10 cm，面積 20 cm²。求夾角 C 的所有可能值。
- 進階三角形三邊 5 cm、6 cm、7 cm。求面積。
- 進階平行四邊形的兩邊是 6 cm 與 8 cm，夾角 60°。求較長的對角線。
- 挑戰三角形中 a = 10 cm、b = 12 cm、A = 35°。問這個三角形有幾個解？並求 B。
- 挑戰三角形中 A = 30°、B = 105°、c = 8 cm。求 a。
- 挑戰三角形三邊 13 cm、14 cm、15 cm。求面積。
- 錯題重練有同學把餘弦定理寫成 a² = b² + c² + 2bc cosA，代 b = 5、c = 7、A = 60° 得 a = 10.4 cm。錯在哪裡？正確是多少？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | 12.2 cm | b = a sinB ÷ sinA = 10 × sin60° ÷ sin45° = 12.2 cm，兩邊都要配自己的對角。 |
| 2 | 12.3 cm | a² = 81 + 25 − 2 × 45 × cos120° = 106 + 45 = 151，a = 12.3 cm；鈍角令減項變正。 |
| 3 | 48.2° | cosA = (64 + 81 − 49) ÷ (2 × 8 × 9) = 0.667，A = 48.2°；分母是 2bc 不是 2a。 |
| 4 | 30° 或 150° | sinC = 2 × 20 ÷ (8 × 10) = 0.5，所以 C = 30° 或 150°；兩個都給出同樣面積。 |
| 5 | 14.7 cm² | s = (5 + 6 + 7) ÷ 2 = 9，面積 = √(9 × 4 × 3 × 2) = 14.7 cm²。 |
| 6 | 12.2 cm | 對角線 d² = 36 + 64 + 2 × 48 × cos60° = 148，d = 12.2 cm；平行四邊形長對角線是加號。 |
| 7 | 兩個解：B = 43.5° 或 136.5° | 高 h = b sinA = 6.9 cm 小於 a = 10 cm，而 a 也小於 b，所以有兩解：B = 43.5° 或 136.5°。 |
| 8 | 5.66 cm | C = 180° − 30° − 105° = 45°，再由 a = c sinA ÷ sinC = 8 × sin30° ÷ sin45° = 5.66 cm；先求第三角。 |
| 9 | 84 cm² | s = 21，面積 = √(21 × 8 × 7 × 6) = 84 cm²；用海倫公式比先求角快。 |
| 10 | 中間應是減號；正確 a = 6.24 cm | a² = 25 + 49 − 35 = 39，a = 6.24 cm；只有求平行四邊形對角線時才用加號。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。