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中四數學 正弦定理與餘弦定理練習三（挑戰）：十題方位與仰角
中四數學 正弦定理與餘弦定理練習三（挑戰）：十題方位與仰角
十題把定理推到實際情境：方位角、船距、燈塔與山高，先畫示意圖再列式。
直接答案 第 01 至 03 題練方位角與直角合成，第 04 至 06 題練仰角兩式相減與土地面積，第 07 至 09 題練海倫公式、對岸距離與兩解，第 10 題針對方位角夾角算錯。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 25 |
| 難度分佈 | 基礎 3 · 進階 3 · 挑戰 3 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中四數學 正弦定理與餘弦定理 |
| 適用年級 | 中四 |
02 題目（10 題）
- 基礎A 點向東行 8 km 到 B，再由 B 向北行 6 km 到 C。求 AC 的長度與由 A 望 C 的方位角。
- 基礎兩艘船由同一碼頭出發，一艘以 12 km/h 向方位 040° 航行，另一艘以 15 km/h 向方位 130° 航行。一小時後兩船相距多少？
- 基礎方位角 030° 與 150° 的兩個方向，夾角是多少？
- 進階在 A 點測得燈塔頂的仰角是 30°，向燈塔前行 50 m 後測得仰角 45°。求燈塔的高度。
- 進階在 P 點測得山頂仰角 25°，沿水平方向向山行 120 m 到 Q，測得仰角 40°。求山高。
- 進階一塊三角形土地的兩邊是 50 m 與 70 m，夾角 65°。求它的面積。
- 挑戰三角形土地的三邊是 40 m、50 m、60 m。求面積。
- 挑戰A、B 兩點在岸邊相距 200 m，C 在對岸。∠CAB = 65°、∠CBA = 48°。求 AC。
- 挑戰三角形中 a = 9 cm、b = 12 cm、A = 35°。求 B 的所有可能值。
- 錯題重練方位角 040° 與 100° 的兩條路線，有同學把夾角當成 140°，理由是 180° − 40°。錯在哪裡？正確夾角是多少？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | 10.0 km，方位 053.1° | 東西與南北互相垂直，AC = √(64 + 36) = 10.0 km；tanθ = 6 ÷ 8 得 36.9°，方位 = 90° − 36.9° = 53.1°。 |
| 2 | 19.2 km | 兩方位夾角 = 130° − 40° = 90°，距離 = √(144 + 225) = 19.2 km。 |
| 3 | 120° | 兩個方位角相減即可：150° − 30° = 120°；方位角一律由正北順時針量，不能當成極坐標角。 |
| 4 | 68.30 m | 設塔高 h：h ÷ tan30° − h ÷ tan45° = 50，即 h(1.732 − 1) = 50，h = 68.30 m。 |
| 5 | 126 m | h(cot25° − cot40°) = 120，cot25° = 2.145、cot40° = 1.192，差 0.953，h = 126 m。 |
| 6 | 1 586 m² | 面積 = ½ × 50 × 70 × sin65° = 1 586 m²；用夾角正弦，不要用 180° 減夾角。 |
| 7 | 992 m² | s = 75，面積 = √(75 × 35 × 25 × 15) = 992 m²；三邊已知用海倫公式最直接。 |
| 8 | 161 m | ∠ACB = 180° − 65° − 48° = 67°，AC = 200 × sin48° ÷ sin67° = 161 m。 |
| 9 | 49.9° 或 130.1° | sinB = 12 × sin35° ÷ 9 = 0.765，B = 49.9° 或 130.1°；因 b > a 且 b sinA = 6.9 cm 短過 a，兩解都成立。 |
| 10 | 錯在兩個方位角直接相減即可；夾角是 60° | 兩個方位角同樣由正北順時針量，夾角 = 100° − 40° = 60°；用 180° 減去其中一個方位角只適合求與正南或正北的補角。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。