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中四數學 正弦定理與餘弦定理練習四（錯題重練）：十個常錯位
中四數學 正弦定理與餘弦定理練習四（錯題重練）：十個常錯位
十題全部由最常錯的步驟改寫：正弦上下倒轉、餘弦定理符號、兩解判斷與方位角夾角。
直接答案 第 01 至 03 題重練正弦定理倒轉、餘弦定理減負數與面積公式，第 04 至 06 題重練反求角、兩解與海倫公式，第 07 至 09 題重練方位角、仰角與平行四邊形，第 10 題針對餘弦定理分子次序。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 25 |
| 難度分佈 | 基礎 3 · 進階 3 · 挑戰 3 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中四數學 正弦定理與餘弦定理 |
| 適用年級 | 中四 |
02 題目（10 題）
- 基礎三角形 ABC 中 a = 8 cm、A = 40°、B = 60°，求 b。常見錯法是寫成 b = 8 sin40° ÷ sin60°。
- 基礎兩邊長 6 cm 與 9 cm，夾角 110°，求第三邊 c。
- 基礎三角形兩邊 7 cm 與 10 cm，夾角 55°，求面積。
- 進階三邊 7 cm、8 cm、9 cm，求最大角。
- 進階a = 9 cm、A = 35°、b = 12 cm，求 B 的所有可能值。
- 進階三邊 11 cm、13 cm、20 cm，用海倫公式求面積。
- 挑戰由 P 點看，Q 在方位 060° 6 km 處，R 在方位 150° 8 km 處。求 QR 的距離。
- 挑戰在 A 點測得塔頂仰角 28°，向塔走近 60 m 後仰角變成 45°。求塔高。
- 挑戰平行四邊形兩鄰邊 8 cm 與 11 cm，夾角 65°，求較長的對角線。
- 錯題重練有同學用餘弦定理計 7 cm、8 cm、9 cm 的最大角，寫成 cosC = (81 − 49 − 64) ÷ (2 × 7 × 8) = −0.286，答 106.6°。錯在哪裡？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | 10.8 cm | 正弦定理 a ÷ sinA = b ÷ sinB，所以 b = a sinB ÷ sinA = 8 sin60° ÷ sin40° = 10.8 cm；把正弦上下倒轉是第一步就錯。 |
| 2 | 12.4 cm | c² = a² + b² − 2ab cosC = 36 + 81 − 2 × 6 × 9 × cos110° = 153.9，所以 c = 12.4 cm；cos110° 是負數，減負數等於加。 |
| 3 | 28.7 cm² | 面積 = ½ ab sinC = ½ × 7 × 10 × sin55° = 28.7 cm²；用 cos 代替 sin 是最常見的錯。 |
| 4 | 73.4° | 最大角對最大邊，cosC = (49 + 64 − 81) ÷ (2 × 7 × 8) = 0.286，C = 73.4°；分子次序寫錯就會得負數。 |
| 5 | 49.9° 或 130.1° | sinB = 12 sin35° ÷ 9 = 0.765，B = 49.9° 或 130.1°；因為 b sinA = 6.88 cm 小於 a = 9 cm，兩個解都成立。 |
| 6 | 66.0 cm² | s = (11 + 13 + 20) ÷ 2 = 22，面積 = √(22 × 11 × 9 × 2) = √4356 = 66.0 cm²；漏了開方就會答 4 356。 |
| 7 | 10.0 km | 兩方位相差 150° − 60° = 90°，所以 QR = √(36 + 64) = 10.0 km；用 180° 減其中一個方位角會得錯夾角。 |
| 8 | 68.1 m | 設塔高 h，h ÷ tan28° − h ÷ tan45° = 60，即 h(1.881 − 1) = 60，得 h = 68.1 m；忘了相減就會把兩個距離當成塔高。 |
| 9 | 16.1 cm | 長對角線 d² = 64 + 121 + 2 × 8 × 11 × cos65° = 259.4，d = 16.1 cm；短對角線才用減號，兩條不要混淆。 |
| 10 | 錯在分子次序：最大角對 9 cm，分子應是 81 − 49 − 64 之外還要加回，即 49 + 64 − 81 = 32，正確答案 73.4° | cosC = (a² + b² − c²) ÷ 2ab，被減的是對邊 c 的平方，所以分子 = 49 + 64 − 81 = 32，C = 73.4°；把負號放錯位置會把銳角算成鈍角。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。