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中四數學 統計與離差練習四（錯題重練）：十題重練平均數、標準差與四分位數
中四數學 統計與離差練習四（錯題重練）：十題重練平均數、標準差與四分位數
十題針對最常錯的地方：漏除以個數、漏開平方根、方差與標準差混淆、離群值上界計錯。
直接答案 第 01 至 03 題重練反求缺項、標準差步驟與三個統計量，第 04 至 06 題重練次數表平均、合併平均與平移的影響，第 07 至 09 題重練四分位數、離群上界與由方差反求，第 10 題針對把方差當標準差。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 25 |
| 難度分佈 | 基礎 3 · 進階 3 · 挑戰 3 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中四數學 統計與離差 |
| 適用年級 | 中四 |
02 題目（10 題）
- 基礎五個數的平均數是 12，其中四個是 8、10、13、17，求第五個數。
- 基礎求 6、8、10、12 的標準差，取兩位小數。
- 基礎數據 4、6、6、9、12、15 的眾數、中位數與範圍各是多少？
- 進階次數表如下：數值 1、2、3、4 的次數依次是 3、5、7、5，求平均數。
- 進階甲組 15 人平均 68 分，乙組 10 人平均 78 分，兩組合併後的平均分是多少？
- 進階數據 2、4、6、8、10 每項加 5 之後，平均數與標準差分別變成多少？
- 挑戰求 4、6、7、9、11、13、15、17、20 的下四分位數、上四分位數與四分位距。
- 挑戰某組數據 Q1 = 12、Q3 = 24，以 1.5 倍四分位距判離群值，問上界是多少？45 是否離群值？
- 挑戰六個數的方差是 4，求標準差與偏差平方和。
- 錯題重練求 6、8、10、12、14 的標準差時，有同學把方差 8 直接寫成答案，正確答案是多少？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | 12 | 總和 = 5 × 12 = 60，四個已知值相加得 48，所以第五個是 60 − 48 = 12。 |
| 2 | 約 2.24 | 平均數 9，偏差平方和 = 9 + 1 + 1 + 9 = 20，方差 5，標準差 = √5 ≈ 2.24。 |
| 3 | 眾數 6、中位數 7.5、範圍 11 | 6 出現兩次所以是眾數；中間兩個是 6 與 9，取平均得 7.5；最大減最小 15 − 4 = 11。 |
| 4 | 2.7 | 總次數 3 + 5 + 7 + 5 = 20，總和 3 + 10 + 21 + 20 = 54，54 ÷ 20 = 2.7。 |
| 5 | 72 分 | 按人數加權：(15 × 68 + 10 × 78) ÷ 25 = (1 020 + 780) ÷ 25 = 1 800 ÷ 25 = 72。 |
| 6 | 平均數 11、標準差約 2.83，標準差不變 | 每項加同一個數，平均數由 6 變 11；每項與平均數的距離沒有改變，所以標準差仍是 √8 ≈ 2.83，平移不影響離差。 |
| 7 | Q1 = 6.5、Q3 = 16、四分位距 9.5 | 九個數的中位數是 11，下半 4、6、7、9 的中位數是 6.5，上半 13、15、17、20 的中位數是 16，兩者相差 9.5。 |
| 8 | 上界 42，45 是離群值 | 四分位距 = 24 − 12 = 12，上界 = 24 + 1.5 × 12 = 42；45 大於 42，所以判為離群值。 |
| 9 | 標準差 2，偏差平方和 24 | 標準差是方差的平方根，√4 = 2；偏差平方和 = 方差 × 個數 = 4 × 6 = 24。 |
| 10 | 約 2.83 | 方差 8 之後仍要多開一次平方根，√8 ≈ 2.83；把方差當標準差會把離差誇大成三倍。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。