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中四數學 三角比與方位角：第三份（挑戰）
中四數學 三角比與方位角：第三份（挑戰）
第 3 份（挑戰）十題三角比與方位角練習，附答案與一句解說。
直接答案 適用程度：中四數學；題型：三條比值、特別角、求邊長、仰角俯角與方位角。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 20 |
| 難度分佈 | 基礎 3 · 進階 3 · 挑戰 3 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中四數學 三角比與方位角 |
| 適用年級 | 中四 |
02 題目（10 題）
- 基礎一座塔高 50 m，地面某點看塔頂的仰角為 45°。求該點與塔底的距離。
- 基礎已知 θ 是銳角且 sin θ = 3/5。求 cos θ。
- 基礎一個等腰直角三角形的斜邊 10 開方 2 cm。求兩股的長度。
- 進階在山腳一點量得山頂仰角 30°，向山走近 100 m 後仰角變為 45°。求山高（取兩位小數）。
- 進階燈塔在某船的方位 060°、距離 5 km。求該船相對燈塔的向東位移與向北位移（取兩位小數）。
- 進階一把 13 m 長的梯靠在垂直的牆上，梯腳離牆 5 m。求梯頂的高度及梯與地面的夾角（取兩位小數）。
- 挑戰由 A 點看 B 點的方向是 040°。由 B 點看 A 點的方位角是多少？
- 挑戰一艘船由 P 向方位角 120° 航行 8 km 到 Q，再向方位角 030° 航行 6 km 到 R。求 R 相對 P 的向東位移（取兩位小數）。
- 挑戰一條 50 m 長的風箏線與水平線成 60° 角。求風箏離地的高度（取兩位小數）。
- 錯題重練錯題重練：學生已知水平距離 100 m 與仰角 30°，卻用 cos 求塔高。正確做法與答案是什麼？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | 距離 = 50 ÷ tan 45° = 50 m。 | 以 tan 為橋：高是對邊、距離是鄰邊，兩者對調就要用除。 |
| 2 | cos θ = 開方(1 − 9/25) = 4/5 = 0.8。 | 用 sin²θ + cos²θ = 1 這條恆等式，不必知道三角形的邊長。 |
| 3 | 每股 = 10 cm，因為斜邊等於股乘開方 2。 | 等腰直角三角形中，斜邊與股的比值固定為開方 2。 |
| 4 | 山高 h 滿足 h ÷ tan 30° − h ÷ tan 45° = 100，解得 h ≈ 136.603 m。 | 兩次觀察各寫一條方程，山高相同，相減就是走過的 100 m。 |
| 5 | 向東 = 5 × sin 60° ≈ 4.33 km；向北 = 5 × cos 60° = 2.5 km。 | 方位角由北起計，所以向北用 cos、向東用 sin。 |
| 6 | 高度 = 開方(13² − 5²) = 12 m；cos θ = 5/13，θ ≈ 67.38°。 | 求高度用畢氏定理，求夾角就用鄰邊與斜邊之比，即 cos。 |
| 7 | 方位角 = 40° + 180° = 22°。 | 兩點互相對望的方向永遠相差 180°。 |
| 8 | 向東 = 8 × sin 120° + 6 × sin 30° ≈ 9.928 km。 | 每段航程的向東分量都用 sin 乘，兩段相加就是總向東位移。 |
| 9 | 高度 = 50 × sin 60° ≈ 43.301 m。 | 線長是斜邊，高度是對邊，用 sin 最直接。 |
| 10 | 應用 tan：塔高 = 100 × tan 30° ≈ 57.735 m。 | 已知鄰邊求對邊一定用 tan，用 cos 只會求出斜邊長。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
做三角比的題目，第一步永遠是畫圖並標明直角在哪裡，再把三個名稱貼上去：與所求角相對的一邊是對邊，捱住直角旁邊的一邊是鄰邊，最長的一邊是斜邊。三條比值只有一個分別就在分母：sin 用斜邊，cos 用斜邊，tan 用鄰邊。寫完比值之後，先看已知的是哪兩項，選一條只含這兩個已知量的公式，就只剩一個未知數。特別角 30° 45° 60° 的數值要背熟，題目見到這些角就不要按計算機。方位角一律由北順時針量度，0° 是北、90° 是東、180° 是南、270° 是西，換算 N…E 寫法時把角度拆成由北或由南起計，兩者相加要等於題目給的方位角。最後把答案代回三角形檢查：斜邊一定是最長的一邊，比值一定小於 1。導師登記 →
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。
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