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中四數學 正弦公式與餘弦公式：第三份（挑戰）
中四數學 正弦公式與餘弦公式：第三份（挑戰）
第 3 份（挑戰）十題正弦公式與餘弦公式練習，附答案與一句解說。
直接答案 適用程度：中四數學；題型：正弦公式、餘弦公式、三角形面積公式、兩解判斷與方位角應用。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 20 |
| 難度分佈 | 基礎 3 · 進階 3 · 挑戰 3 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中四數學 正弦公式與餘弦公式 |
| 適用年級 | 中四 |
02 題目（10 題）
- 基礎三角形三邊 13 cm、14 cm、15 cm，求面積。
- 基礎三角形 ABC 中，B = 110°，C = 25°，b = 20 cm，求 a。
- 基礎三角形兩邊同為 9 cm，夾角 60°，求面積。
- 進階三角形面積 48 cm²，兩邊 12 cm 與 10 cm，求夾角 C 的所有可能值。
- 進階三角形 ABC 中，AB = 10 cm，AC = 7 cm，A = 60°，求 BC。
- 進階三角形兩邊 11 cm 與 8 cm，夾角 100°，求第三邊。
- 挑戰三角形 ABC 中，a = 7 cm，b = 8 cm，A = 40°。求角 B 的所有可能值，並判斷解的數目。
- 挑戰三角形三邊 4 cm、5 cm、6 cm，求最大的角。
- 挑戰某人由 A 出發行 6 km，再轉向使兩段路夾角成 120°，行 9 km 到 B。求 A 與 B 的直線距離。
- 錯題重練三角形 ABC 中，a = 10 cm，b = 12 cm，A = 35°。某同學只寫下 B = 43.495° 便完結。正確答案應有幾個解？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | 面積 = 84 cm²。 | 半周界 s = 21，面積 = √(21 × 8 × 7 × 6) = 84。 |
| 2 | a = 8.995 cm。 | 先用內角和得 A = 45°，再用 a = 20 × sin 45° ÷ sin 110°。 |
| 3 | 面積 = 35.074 cm²。 | 面積 = 9 × 9 × sin 60° ÷ 2。 |
| 4 | C = 53.13° 或 126.87°。 | sin C = 2 × 48 ÷ 120 = 0.8，銳角與鈍角都符合。 |
| 5 | BC = 8.888 cm。 | BC² = 100 + 49 − 2 × 10 × 7 × cos 60° = 79。 |
| 6 | 第三邊 = 14.682 cm。 | cos 100° 是負數，所以 2ab cos C 一項變成加號，c² 約 215.6。 |
| 7 | B = 47.275° 或 132.725°，兩個解都成立。 | sin B = 8 × sin 40° ÷ 7 = 0.735；40° 加 132.7° 仍小於 180°，所以有兩個三角形。 |
| 8 | 最大角 = 82.819°。 | 最大角對着 6 cm 邊，cos C = (16 + 25 − 36) ÷ 40 = 0.125。 |
| 9 | 距離 = 13.077 km。 | 餘弦公式 d² = 36 + 81 − 2 × 6 × 9 × cos 120°，cos 120° 為 −0.5，d² = 171。 |
| 10 | B = 43.495° 或 136.505°，共兩個解。 | sin B = 12 × sin 35° ÷ 10 = 0.688；35° 加 136.5° 仍小於 180°，所以兩個角都成立。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
做這類題目，先問自己手上是三邊、兩邊夾角，還是兩角一邊。只有兩角一邊時用正弦公式；有兩邊及其夾角時用餘弦公式。用正弦公式反求角，要檢查 180 度減去該角是否仍然合法，合法就有兩解。求面積一律用兩邊乘積的一半再乘夾角的正弦。導師登記 →
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