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中五數學：圓的性質──弦、弧與切線（進階 10 題）
中五數學：圓的性質──弦、弧與切線（進階 10 題）
十題加強版：平行弦同側相減、異側相加，切線長與 OP 互求，切線夾角用半角正弦；每題兩個步驟以上。
平行弦與切線的組合運用 進階卷集中在兩種組合：一是兩條平行弦與圓心的位置安排，同側要相減、異側要相加；二是切線三角形，已知 OP、半徑、切線長其中兩個求第三個，並用 OP 平分切線夾角處理角度。每題都要先寫出所用定理。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 25 |
| 難度分佈 | 進階 9 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中五數學：圓的性質──弦、弧與切線 |
| 適用年級 | 中五數學 |
02 題目（10 題）
- 進階半徑 25 cm，弦長 48 cm。求圓心到弦的距離。
- 進階半徑 15 cm，圓心到弦的距離 9 cm。求弦長。
- 進階半徑 13 cm，兩條平行弦長 24 cm 與 10 cm，同在圓心的一側。求兩弦之間的距離。
- 進階同一個圓（半徑 13 cm），同樣長 24 cm 與 10 cm 的兩條平行弦，改為分別在圓心兩側。求距離。
- 進階半徑 5 cm，外點 P 距圓心 13 cm。求由 P 引出的切線長度。
- 進階半徑 5 cm，OP = 10 cm，PA、PB 為兩切線。求 ∠APB。
- 進階切線長 20 cm，半徑 15 cm。求外點與圓心的距離 OP。
- 進階半徑 13 cm 的圓中，弦 CD 距圓心 5 cm 且 CD = 24 cm。另一弦 AB 也距圓心 5 cm。求 AB。
- 進階半徑 29 cm，弦長 40 cm。求圓心到弦的距離。
- 錯題重練錯題重練：有同學寫「切線長等於半徑」。若 OP = 25 cm、半徑 7 cm，切線長應為多少？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | 7 cm。 | 半弦 24，√(625 − 576) = 7；先減後開方，不要先開方。 |
| 2 | 24 cm。 | 半弦 √(225 − 81) = 12，全弦 24。 |
| 3 | 7 cm。 | 兩弦距圓心分別 5 cm 與 12 cm，同側相減：12 − 5 = 7。 |
| 4 | 17 cm。 | 異側要相加：5 + 12 = 17；同側才相減，這是最常見的失分位。 |
| 5 | 12 cm。 | 切線、半徑、OP 成直角三角形：√(169 − 25) = 12。 |
| 6 | 60°。 | OP 平分 ∠APB，且 sin(半角) = 5 ÷ 10 = 0.5，半角 30°，全角 60°。 |
| 7 | 25 cm。 | OP 是斜邊：√(15² + 20²) = 25，記住 3-4-5 的放大版。 |
| 8 | AB = 24 cm。 | 與圓心等距的弦等長，所以 AB 與 CD 同長，不需要再算。 |
| 9 | 21 cm。 | 半弦 20，√(841 − 400) = 21。 |
| 10 | 24 cm。 | 切線長是直角三角形的一股，與半徑互換會令斜邊計錯；√(625 − 49) = 24。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。