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中五數學：圓的性質──弦、弧與切線（挑戰 10 題）
中五數學：圓的性質──弦、弧與切線（挑戰 10 題）
十題綜合卷：長弦較近圓心、圓心角用正弦餘弦求弦與圓心距、切線與弦夾角等於弓形圓周角、同心圓相切弦。
多步推理與公式換算 挑戰卷要求把定理接起來用：先由弦長比較圓心距，再由圓心角用 2r sin(θ/2) 求弦、用 r cos(θ/2) 求圓心距，之後處理切線與弦的夾角（等於另一弓形的圓周角）以及同心圓中弦與小圓相切的距離安排。答案要寫出使用的定理名稱。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 25 |
| 難度分佈 | 挑戰 9 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中五數學：圓的性質──弦、弧與切線 |
| 適用年級 | 中五數學 |
02 題目（10 題）
- 挑戰半徑 13 cm 的圓中，弦 AB = 24 cm，弦 CD = 10 cm。哪一條較接近圓心？距離分別是多少？
- 挑戰半徑 13 cm，兩條平行弦各長 24 cm 與 10 cm，分別位於圓心兩側。求兩弦距離。
- 挑戰半徑 6 cm，圓心角 ∠AOB = 120°。求弦 AB 的長度（2 位小數）及圓心到 AB 的距離。
- 挑戰半徑 10 cm，圓心角 90°。求弦長與圓心到弦的距離（2 位小數）。
- 挑戰由外點 P 引兩切線 PA、PB，∠APB = 64°。求 ∠AOB（O 為圓心）。
- 挑戰切線與弦 AB 的夾角是 65°。求 AB 所在弓形內的圓周角。
- 挑戰兩同心圓半徑 13 cm 與 5 cm，大圓的一條弦與小圓相切。求該弦長。
- 挑戰由外點 P 引兩切線 PA、PB，PA = PB = 15 cm，OP = 17 cm。求圓的半徑。
- 挑戰半徑 8 cm，圓心角 60°。求弦長，並說明三角形的形狀。
- 錯題重練錯題重練：有同學寫「切線與弦的夾角等於所對的圓心角」。若夾角是 50°，圓周角與圓心角應各是多少？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | AB 較近：AB 距圓心 5 cm，CD 距圓心 12 cm。 | 長弦較近圓心；分別用 √(169 − 144) 與 √(169 − 25) 算出 5 與 12。 |
| 2 | 17 cm。 | 先各算圓心距 5 與 12，異側相加得 17；作圖分清同側與異側。 |
| 3 | AB = 6√3 ≈ 10.39 cm，圓心距 = 3 cm。 | 弦 = 2 × 6 × sin60° ≈ 10.39；圓心距 = 6 × cos60° = 3，兩個公式不要混。 |
| 4 | 弦長 10√2 ≈ 14.14 cm，圓心距 5√2 ≈ 7.07 cm。 | 弦 = 2 × 10 × sin45°；圓心距 = 10 × cos45°；兩者相差 √2 倍。 |
| 5 | ∠AOB = 116°。 | 四邊形 OAPB 的兩個切點角各 90°，故 ∠AOB = 360 − 90 − 90 − 64 = 116°。 |
| 6 | 65°。 | 「切線與弦的夾角等於另一弓形的圓周角」，所以直接相等，不用除以 2。 |
| 7 | 24 cm。 | 相切即該弦距圓心 5 cm；半弦 √(169 − 25) = 12，全弦 24。 |
| 8 | 8 cm。 | 半徑 = √(17² − 15²) = 8；這裡斜邊是 OP，不是切線。 |
| 9 | 弦長 8 cm；△OAB 是等邊三角形。 | OA = OB = 8 且夾角 60°，第三邊必為 8，所以是等邊三角形。 |
| 10 | 弓形內圓周角 50°，同弧圓心角 100°。 | 切線與弦的夾角等於弓形內的圓周角，而圓心角是圓周角的兩倍。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。