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中五數學 指數與對數：第 3 份（挑戰）
中五數學 指數與對數：第 3 份（挑戰）
十題去到對數方程與應用：改寫成指數式、合併對數、二次代換、同底化指數方程與倍增情境。
直接答案 第 1 至 3 題 x = 13、x = 13、x = 0 或 2；第 4 至 6 題 x = 5、5、1.3010；第 7 至 9 題 x = 3、x = 6、3 小時；第 10 題負 3 不合，只有 x = 3。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 20 |
| 難度分佈 | 基礎 3 · 進階 3 · 挑戰 3 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中五數學 指數與對數 |
| 適用年級 | 挑戰 |
02 題目（10 題）
- 基礎解方程：以 2 為底 (x + 3) 的對數等於 4。
- 基礎解方程：以 5 為底 (2x − 1) 的對數等於 2。
- 基礎解方程 2 的 2x 次方減 5 乘 2 的 x 次方加 4 等於 0。
- 進階解方程：以 10 為底 x 的對數，加上以 10 為底 (x − 3) 的對數，等於 1。
- 進階計算：以 2 為底 12 的對數減以 2 為底 3 的對數，再加 3。
- 進階已知以 a 為底 2 的對數是 0.3010，以 a 為底 5 的對數是 0.6990。求以 a 為底 20 的對數。
- 挑戰解方程 9 的 x 次方等於 27 的 (x − 1) 次方。
- 挑戰解方程 8 的 x 次方等於 4 的 (x + 3) 次方。
- 挑戰某細菌每小時數目倍增，開始時有 500 個，要多少小時才增至 4000 個？
- 錯題重練有學生解以 2 為底 (x − 1) 的對數加以 2 為底 (x + 1) 的對數等於 3，得出 x 為 3 或負 3。錯在哪裡？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | x = 13 | 化成指數式得 x + 3 = 16，所以 x 是 13。 |
| 2 | x = 13 | 化成指數式得 2x − 1 = 25，解得 x 是 13。 |
| 3 | x = 0 或 x = 2 | 設 y 為 2 的 x 次方，解 y² − 5y + 4 = 0 得 y 為 1 或 4，再還原得 x 為 0 或 2。 |
| 4 | x = 5 | 合併得 x(x − 3) = 10，解得 x 為 5 或負 2，負值不合，故 x 是 5。 |
| 5 | 5 | 前兩項合併得 4 的對數即 2，再加 3 得 5。 |
| 6 | 1.3010 | 20 等於 4 乘 5，所以對數是 2 乘 0.3010 加 0.6990，得 1.3010。 |
| 7 | x = 3 | 兩邊化成 3 的次方得 2x 等於 3x − 3，解得 x 是 3。 |
| 8 | x = 6 | 兩邊化成 2 的次方得 3x 等於 2x + 6，解得 x 是 6。 |
| 9 | 3 小時 | 由 500 增至 4000 是 8 倍，2 的 3 次方是 8，所以需 3 小時。 |
| 10 | 負 3 不合，答案只有 x = 3 | 合併得 x² − 1 = 8，但 x 為負 3 會令對數的真數變成負數，沒有定義。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
每條對數方程都要把根代回，寫一句說明為甚麼保留或捨去。導師登記 →
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。