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中五數學 多項式餘式與因式定理：第 3 份（挑戰）
中五數學 多項式餘式與因式定理：第 3 份（挑戰）
考重因式、三次以上除式、二次函數擬合與聯立條件。
直接答案 第 1 至 3 題 a0 b2 c3、是、x + 8；第 4 至 6 題 p0 q−7、3x − 1、a2 b−8；第 7 至 9 題 3、a4 b−3、x − 1；第 10 題 x + 1 不是因式。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 20 |
| 難度分佈 | 基礎 3 · 進階 3 · 挑戰 3 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中五數學 多項式餘式與因式定理 |
| 適用年級 | 挑戰 |
02 題目（10 題）
- 基礎三次多項式 f(x) = x³ + ax² + bx + c 滿足 f(1) = 6、f(−1) = 0、f(2) = 15，求 a、b、c。
- 基礎(x − 1)² 是否 x³ − 3x + 2 的因式？
- 基礎求 2x⁴ + 3x³ − x + 5 除以 x³ − 1 的餘式。
- 進階x³ + px² + qx + 6 同時被 x − 1 與 x + 3 整除，求 p 與 q。
- 進階f(x) 除以 x − 2 餘 5、除以 x + 1 餘 −4，求除以 (x − 2)(x + 1) 的餘式。
- 進階2x³ + ax² − 8x + b 被 x − 2 與 x + 1 同時整除，求 a 與 b。
- 挑戰二次多項式 f(x) 滿足 f(1) = 3、f(2) = 5、f(3) = 9，求 f(0)。
- 挑戰x³ − 2x² + ax + b 有因式 x − 1，且 f(2) = 5，求 a 與 b。
- 挑戰求 x⁴ − 1 除以 x² + x + 1 的餘式。
- 錯題重練有學生見到 f(1) = 0 就答 x + 1 是 f(x) = x − 1 的因式。錯在哪裡？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | a = 0，b = 2，c = 3 | 三條方程解出 a = 0、b = 2、c = 3，即 f(x) = x³ + 2x + 3。 |
| 2 | 是，因為 f(1) = 0 且導數在 x = 1 也是 0 | 重因式要兩個條件：f(1) = 1 − 3 + 2 = 0，3x² − 3 在 x = 1 亦為 0。 |
| 3 | x + 8 | 用 x³ = 1 代簡：2x + 3 − x + 5 = x + 8。 |
| 4 | p = 0，q = −7 | f(1) = 0 給 p + q = −7，f(−3) = 0 給 3p − q = 7，解得 p = 0、q = −7。 |
| 5 | 3x − 1 | 設餘式 ax + b，2a + b = 5、−a + b = −4，解得 a = 3、b = −1。 |
| 6 | a = 2，b = −8 | f(2) = 0 給 4a + b = 0，f(−1) = 0 給 a + b = −6，解得 a = 2、b = −8。 |
| 7 | 3 | 設 ax² + bx + c 解得 a = 1、b = −1、c = 3，所以 f(0) = 3。 |
| 8 | a = 4，b = −3 | f(1) = 0 給 a + b = 1，f(2) = 5 給 2a + b = 5，解得 a = 4、b = −3。 |
| 9 | x − 1 | 用 x³ = 1 代簡：x⁴ − 1 化為 x − 1。 |
| 10 | 應驗 f(−1) = −2，x + 1 不是因式；f(1) = 0 對應 x − 1 | 因式定理要代入令除式為零的值，x + 1 要代 x = −1。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
先寫出除式 = 0 的那個 x 值，代入多項式算出餘式，再判斷是否因式。導師登記 →
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。